DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. i 7 iintégrale , ou du moins une courbe qui exprime le rapport dex à y. Mais il n’en est pas de même d’une différentielle à troisvariables. Bougainville, dans son traité du calcul intégral ( t. II,p. 2.5 et sui v ) en donne une double démonstration l’nne ana-lytique, et l’autre déduite d’une considération géométrique. Onnous permettra de renvoyer encore à son ouvrage.

Mais les cas d’intégration directe et semblable sont si rares,qu’il faut le plus souvent recourir à d’autres expédiens imaginés

S ar les géomètres qui ont traité ces matières. L’un de 'ces expé-iens consiste , ainsi qu’on l’a déjà dit , dans la séparation desindéterminées , c’èst-à-dire , à faire ensorte que chacune desdifférentielles ne se trouve plus affectée que de sa variablepropre, dx par exemple, d’une fonction quelconque de x etde constantes , et dy d’une fonction de y et de constantes. Caralors on peut au moins l’intégrer au moyen de la quadraturedu cercle ou des logarithmes, ou de quelque autre courbe.

C’est à Leibnitz et aux deux célèbres frères Jacques et JeanBernoulli, qu’on doit principalement les différens artifices dece genre. Les divers problèmes soit purement géométriques , soitmécaniques qu’ils proposèrent, les conduisirent souvent à desdifférentielles très-compliquées qu’ils avoient à intégrer. Leibnitz,ce qu’on n’a pas assez remarqué, donna en ce genre plusieursfois des exemples d’une sagacité digne d’un des inventeurs deces calculs. A la vérité ses occupations infiniment variées fài-soient que souvent il se contentoit de montrer la voie ; mais onreconnoît toujours dans tout ce qu’il a écrit sur ce sujet le doigtindicateur du génie. Enfin ce sont surtout MM. Bernoulli quiont enseigné au monde savant les différentes méthodes de cecalcul, et c’est d’eux , et principalement de Jean Bernoulli, quenous emprunterons la plus grande partie de ce que nous allonsdire.

Il se présente d’abord un cas qui, du premier coup-d’oeil ,paroît être fort difficile , et où néanmoins avec un peu d’at-tention on reconnoît facilement que les indéterminées sontséparables. C’est lorsque dans une équation différentielle à deuxvariables x et y , par exemple , les dx , dy se multiplient l’unl’autre, et forment des produits de plusieurs dimensions , maisqu’une des deux variables finies manque entièrement. Telle estcette expression différentielle ady'-*- bdy'dx — ydy^dx? — ydx 4— °, où x manque. En effet, une inspection attentive de l’ex-pression fait voir que divisant tout par dy*, elle se transforme

dans la suivante y ~ -+- y ~ —— a = o. Or c’est-là une équa-tion du quatrième degré , où ~ tient lieu d’inconnue , en sorte

y Y x