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où l’on peut s’en instruire. Il ne nous est cependant pas possiblede finir cet article , sans donner une idée de quelques artificesd’intégration et de construction géométrique des équations dif-férentielles qui sont fréquemment employés, et que nous n’avonsencore pu faire connoître. ^

Lorsque par un des moyens quelconques indiqués dans cetarticle on est parvenu à séparer les variables, il est aisé de voirque le problème est réduit à un de ceux de l’article précédent.On en intègre chaque membre à part, soit absolument si lachose est possible , soit au moyen des logarithmes ou des arcsde cercle , ou autres moyens dont on a donné l’explication. Caralors l’intégrale est réduite à cette forme Y dy — Xdx , danslaquelle Y est une fonction quelconque de y , et X une quel-conque de x. Ainsi supposons une différentielle, dont la sépa-ration des variables ait produit celle-ci : ^ = -- - --. En inté-

* y TT '— XX

grant, on trouvera log. hyp. y = Arc tang. x au rayon r.

Il est à propos de faire connoître ici un artifice particulierd’un usage très fréquent dans l’intégration de quantités loga-rithmiques. Si l’on avoit , par exemple , à intégrer l’équation

~=Xdx , on verra bien d’abord que log. y = S. Xdx. Mais

on n’a en quelque sorte rien encore , si l’on ne dégage pas ydu signe logarithmique ; mais comment l’en dégager , l’autremembre n’étant point sous la même forme ? on y est parvenuainsi : il n’y a qu’à multiplier ce second membre par le loga-rithme de e , savoir le logarithme du nombre qui a l’unité pourlogarithme ; car il est évident que cela ne troublera en aucunemanière l’équation. On aura donc log .y x=.S.Xdx log. e. Passantdonc maintenant des logarithmes aux quantités ordinaires , onaura y = e S Xdx . Ainsi , lorsque l’on aura connu la valeur deS. Xdx , on aura celle de y. Cette forme d’intégrale est d’unusage très-fréquent dans ce calcul.

Lorsque les variables d’une équation différentielle sont sé-parées , il y a un autre moyen quelquefois employé pour repré-senter l’intégrale , surtout lorsque celle de chaque membredépend des quadratures. Voici un exemple de ce procédé. Soitla différentielle à variables séparées exprimée comme elle peutl’être généralement par celle-ci Y dy = Xdx , I et Y étanttelles qu’on a dit plus haut.Il est évident que ces deux expressionsreprésentent des différentielles d’aires de courbes ,• la premièrecelle d’une courbe dont y étant l’abscisse , l’ordonnée seroit lafonction Y , et la seconde celle d’une courbe dont l’ordonnéeseroit X , l’abscisse étant x. On suppose au surplus que x ety sont de dimension linéaire , et si cela n’étoit pas, il n’y auroit