DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. i 9 5même particulière de cette différentielle ; car cette intégrale

est^y — a -t- V xx -\-yy — /ra*. Or , de quelque manière qu’ons’y prenne, on n’y peut ramener x*-h y* =. ce n’est con-séquemment ni une intégrale complète, ni même une intégraleparticulière.

C’était-là un des paradoxes qu’Euler examinait dans un mé-moire dont on a parlé sur la fin de l’article précédent; mais je nesache pas qu’Euler l’eut fait disparaître en faisant voir pourquoiet comment ces espèces de solutions, pour ainsi dire parasites ,viennent se mêler aux solutions générales. A la vérité il avaitrepris cette question dans le premier volume de ses Institution.escalculi Integralis, et il avait fait voir comment, sans connaîtrel’intégrale complète d’une équation différentielle du premierordre, on pourrait s’assurer qu’une solution particulière en estune intégrale particulière, solution à laquelle d’Alembert donnaen 1769 de nouveaux développemens; mais i était réservé auC. Laplace de porter entièrement la lumière sur ce sujet ; cequ’il fit dans un mémoire donné à l’académie des sciences, en1772, et dans lequel, par des considérations, en partie géomé-triques , en partie analytiques, il fait voir l’origine nécessaire deces solutions particulières, et où il enseigne le moyen de trouvertoutes celles d’une, équation différentielle proposée du premierordre, qui ne se trouvent point comprises dans l’intégrale com-plète : on y trouve aussi quelques théorèmes analogues relatifsaux différentielles du second ordre. Enfin le cit. Lagrange re-prenant cet objet dans les mémoires de Berlin, pour l’année1774» y a encore jeté de nouvelles lumières, et a donné une mé-thode à-la-fois claire et simple, de démêler ces solutions par-ticulières de celles qui sont renfermées dans l’intégrale complète.

Les différentes branches du calcul intégral ou les formes dedifférentielles sont tellement multipliées, qu’un volume entiersuffirait à peine pour les faire connaître. Il faut parcourir les mé-moires de l’academie de Berlin, ceux de Pétersbourg, et les ou-vrages d’Euler, pour s’en former une idée, ainsi que des questionsincidentes et inattendues auxquelles cette matière inépuisabledonne lieu. Mais comment, dans un ouvrage tel que celui ci, selivrer à ces détails. Nous ne pouvons que renvoyer à ceux quitraitent expressément du calcul intégral. Nous en avons déjà faitconnaître les principaux ; mais au moment où l’on imprimaitles articles précédens, le public attendait encore celui du C. La-croix , qui vient enfin de paraître et qui remplit parfaitement1 attente qu’on en avait conçue d’après le premier volume traitantdu calcul différentiel; cet ouvrage, en effet, présente sur lecalcul intégral l’instruction la plus complète, la plus détaillée etla plus claire. J’apprends aussi qu’il vient de paroître à Berlin

B b a