DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 197le premier où tous ces termes finis ne comprendront que x etses puissances ou fonctions quelconques, si l’on a d’un côté

ou au contraire. S’il y a quelques termes affectés du signe radicalou formant un dénominateur de fraction, on les réduira en sérieinfinie, de sorte qu’on aura d’un côté une suite de termes

affectés seulement de x, et de l’autre^. Il n’y aura donc qu’à

multiplier les premiers par dx et on aura dy exprimé par uneSuite de termes en x et dx \ conséquemment tous intégrables à

J jart. Aussi l’on aura la valeur de y exprimée en une série, soitinie, soit infinie, de termes en x.

Si l’on avoit l’équation ady — xdy — adx — xdx , = o

le procédé indiqué donneroit % — et réduisant en unesérie qui est i -+- A -4- ~ &c. ; et la multipliant par a -H x, il enrésultera le série 1 + ”+j + 7, &c. , ce qu’on multiplierade nouveau par dx ; et en intégrant ensuite , on aura finale-ment y =. x &c. , sauf l’addition d’une

constante.

De même cette équation dy 1 = dxdy -+- x'dx " 1 étant donnée,on trouvera , en résolvant l’équation du second degré ,

dy* — dxdy — x'dx 1 , on trouvera, dis-je, dy—~dxzhdx\ / ~-bxx r

et on aura ~ = t-x 2 j et résolvant ce terme radical en

série, on aura entin &=± d= ± zb x 2 x 4 =b 2x 6 , &c., ce qui

donnera pour ces deux valeurs différentes 1 -+-y —

ou — - --t- — & Ci On a nécessairement ici deux valeurs

37 9

de y , parce que celle de ^ a été tirée d’une équation dusecond degré.

Mais il est aisé de voir qu'on eût pû parvenir à des résultatssemblables ou plus simples par l’intégration ordinaire : aussi n’est-ce pas en cela que consiste proprement la méthode de Neuton.

C’est dans la solution du second cas où l’on a , par exemple , ^

d’un côté , et de l’autre des termes affectés de x et y. Tel

est celui de cette équation ^ = — ——t — provenante de celle-ci

ady — xdy -f- 2.ydy = adx — xdx. Comment, dans ce cas ,dégager y de manière a n’avoir qu’une série de termes affectésseulement de x ; c’est ce que Neuton enseigne a faire par une