204 histoire

cercle décrit du rayon i,oule nombre 1.570796,1e quart d’ellipsesera égal à cette série 0(i -h~ee — ^i<? 4

3 - 3 .

3 3 - 3 . 3.7

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4 . 16)3 6'' 4 . 16.3 6 64 °

dans laquelle la loi des coéfficiens est assez facile à reconnoître.On réduira môme cette série à une forme plus commode pour le

calcul, en lui donnant celle-ci B {i-~ee-~k.ee — ~ s Bee—j^Cee &c.).

Ici chaque lettre A , B , C , D , représente le terme immédia-tement précédent, ce qui sert à déduire sans beaucoup de calculchaque tenue de celui qu’on vient de trouve*. Ainsi A dans letroisième terme étant jee, ce terme est j^e 4 ) le quatrièmeig Bee , est ^r^yge 6 , comme dans la première forme , ce quiprouve suffisamment leur identité.

Mais cette série, quoiqu’en apparence fort convergente, nel’est que très-médiocrement, au-delà des premiers termes; si cen’est dans les cas où ee est une très-petite fraction de l’unité :car dans le cas où ee est égal à ce qui est celui de l’ellipsedans laquelle les axes seroient l’un à l’autre comme 1 à 2, àpeine quatre, cinq et six termes suffisent-ils pour faire rétro-grader d’une place le premier chiffre significatif de la fractiondécimale; d’où il résulte que cette série n’est pas aussi avan-tageuse pour le calcul de la longueur de l’ellipse qu’elle le paroîtd’abord et qu’elle l’a paru à Euler même.

Au reste comme on peut avoir quelquefois besoin de connoitrela longueur d’un quart d’ellipse, je saisis cette occasion d’insérerici une table que j’ai autrefois calculée d’après une méthode deJean Bernoulli. Elle donne les longueurs des divers quartsd’ellipse, depuis celle où le demi petit axe est du demi grandaxe supposé l’unité, jusqu’à celle où ils sont égaux entr’eux ,ce qui est le quart de cercle lui-même.

rs .1. oi 58 n.

.1. o5o442.

TJ. 1. 092l3l.

tc .1. i 5 o 6 z 6 .

TC .1. 21 lo 54 -

Te . 1 . 276352 .

■h .1.345594.

■h .1.418185.

.1.493255.

1.1.570796.

Si l’on avoit besoin d’un quart d’ellipse tombant entre cestermes, on le trouyeroit facilement, soit en prenant des parties