DES MATHEMATIQUES. Para. V. Liv. I. 207dire, de repos qu’autant qu’il atteint le point indivisible de lavérité. D’ailleurs les séries ont fréquemment de grands incon-véniens ; le principal est souvent de ne pas converger assez , oude n’avoir pas ses termes assez rapidement décroissans, pourqu’en ayant pris un nombre médiocre on puisse, sans erreursensible, négliger le surplus. Celle-ci, par exemple, qui donnela grandeur au cercle, dont le diamètre est 1, savoir 1 —y -H f— 7+ 9» &c. converge si lentement qu’il en faudroit prendre100,000 termes pour avoir seulement le rapport approchéd’Archimede , et l’on n’y gagne pas beaucoup à la représentersous cette forme ~ -+- ~ -t- &c. ou celle - ci 1 — &c.

Les géomètres ont donc été naturellement conduits à considérerplus particulièrement ces suites de quantités décroissantes , achercher des moyens d’en trouver la somme, fussent-ellesmême prolongées à l’infini, ou si cette sommation se trou voitimpossible, à tenter d’en approcher jusqu’à un degré d’exactitudeindéfini. De ces recherches enfin, il est résulté une théorie fortétendue et fort intéressante qui a été successivement cultivée etaugmentée par tous les géomètre, du plus grand nom.

Archimede marche ici à leur tcte comme dans tant d’autresrecherches géométriques ; car il paroît être le premier qui aittrouvé la sommation d’une progression géométrique décroissantecontinuée à l’infini. S’il ne s’énonce pas comme nous , 1 e résultaten est le même ; ce fut un des moyens qu’il employa pour quarrerla parabole.

Depuis Archimede jusqu’à ces derniers temps, je ne vois per-sonne qui se soit proposé ce sujet de recherches. Mais Leibnitzannonça, en 1682, des nouvautés en ce genre, par l’écrit qu’ilpublia dans les actes de Léipsick sous ce tire : De proportionecirculi ad quadratum circurnscriptum in numeris rationalibus.Parmi le grand nombre de choses curieuses que contient cetécrit, on trouve les prop. suivantes ; si l’on forme une série defractions, comme celle-ci -t- 3^ & c . > dont

les numérateurs sont l’unité, et les dénominateurs, les quarrésdes nombres naturels ( 1 excepté), diminués de l’unité, la sommede cette série continuée à l’infini ne fera que d et si on prendses termes en commençant par le premier, ensuite le troisième ,le cinquième &c. cette Série ^ &c. sera

égaleàf, et si l’on prend les termes de la même suite com-mençant par le second et en omettant alternativement un, cequi donne &c. ; leur somme sera f. Enfin

la série ÿ -4- -t- ■— ^ &c. sera égale à l’aire du cercle dont

le quarré inscrit est f , ou le circonscrit d. Mais j -i- &c.

est égal à un espace hyperbolique entre les asymptotes, qui estle quart du logarithme hyp. de 2.