DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Ltv. I. 209qui quoique indirecte est fort ingénieuse. Jacques Bernoulli ledémontre d’une autre manière et en tire la démonstration quel’espace asyinpt. de l’iiyp. d’Apollonius est infini. Mais commeon démontre d’une autre manière que cette aire est infinie, onpeut facilement en tirer la démonstration que la somme de lasérie harmonique ci-dessus et de toute autre du même genreest infinie , quelques mauvaises raisons qu’ait pu donner unjésuite dans les mém. de Trévoux et un M. Corradi dans untraité du calcul intégral, pour prouver le contraire. Nousdonnerons ailleurs, d’après M. Maclaurin , un moyen de re-connoître si une série a une somme finie ou infinie.

Une autre série , dont il étoit naturel de chercher aussi lasomme, est celle-ci: 1 fg -t- fr & c - ( î u ‘ est série

réciproque des quarrés. Mais les moyens de M. Bernoulli sontimpuissans , pour résoudre le problème ; il démontre néanmoinssur ce sujet une chose fort curieuse ; c’est que dans cette sériela somme des termes impairs 1 -+- j -+- ~ &c. est à celle destermes pairs ^ -+- ~ -4- ~ &c. comme 3 à 1. Et en général

si l’on a une série réciproque des puissances quelconques ,

comme 1 -4- A -y -4- ■- &c., la somme des termes dans les places

impaires, comme 1 -h~ -h-~ sera à celle des termes

pairs Jp-t-d—i- ^ &c., comme n 1 —1 est à 1. Ainsi dans la série

réciproque des cubes, ce rapport sera de 7 à 1 ; dans celle desquarrés quarrés, ce sera celle de i 5 à 1. M. de Mairan a donnédans les mémoires de l’académie des sciences , pour l’année 1760,une démonstration particulière de cette vérité, plus simple etplus directe que celle de Bernoulli. Quant à la sérié réciproquedes quarrés 1 -4- ^ -t- j -t- ^ &c. M. Euler est, je crois, le pre-mier qui en ait donné la sommation qui est du genre trans-cendant ; et ce qu’il y a de singulier ici , c’est que la série réci-proque des cubes, comme | A- &c., ne présente pas lesmêmes difficultés ; il en sera question dans la suite.

On ne sera probablement pas fâché de trouver ici une idéedes moyens employés par les deux illustres frères pour la réso-lution de ces problèmes. L’un d’eux consiste dans la résolutionde la série donnée en plusieurs autres dont la sommation estdéjà connue; mais celui dont ils font le plus souvent usage estde soustraire d’une série donnée, la même série diminuée deson premier terme, ou de quelques-uns de ses premiers termes.Soit, par exemple, la série harmonique 1 -4— -5- —t— t —t— t & c *

que je nomme A sans m’inquiéter si sa soropie est finie ou infinie.

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