2,6 HISTOIRE

convergente, et qu’un nombre de termes incomparablementmoindre sufïit pour approcher beaucoup de la vérité, Donnons-en un exemple : soit la suite l dont le terme

général est z exprimant de suite 1,2,3, &c. Mais ce terme rérluit

à la forme exigée parM. Stirling est

H-H wH-t+ I tt+'-l+M-H

-&C.

dont la formule sommatoire est conséquemment -~)- -—;

t 1;. ; + >

^_____i__&;c. dans laquelle, si l’on fuit, par exemple, z = 10,

on aura la somme de tous les termes depuis le io exclusivementjusqu’à l’infini ; niais il est aisé de voir avec quelle rapidité cettedernière suite converge; car dans la supposition ci dessus de2 = io, ona ^ + -+- 30 .r' - ; ■ &c. Ainsi, en prenant la

somme des neuf premiers termes, qui est 1.5397674 , et sup-posant ensuite dans la série--)- — &c. z — 10, on aura la

r . . 1 H- l+i .

série numérique ci-rlessus, dont un petit nombre de termes (5seulement) donne 0.1047724 qui est juste jusqu’à la dernièredécimale ; ainsi, ajoutant ce nombre à celui ci-dessus 1.5397674,on aura 1.6411398 par la valeur de la série 1 -+- -t- ÿ -+- 6cc.et cette valeur est exacte jusqu’à la cinquième décimale ; ce qu’onn’auroit pas obtenu en ajoutant réellement 100.000 , termesde cette suite.

On voit par là que l’invention de M. Stirling consiste, lors-qu’une série n’est pas sommable en termes Unis,à joindre la sommed’un petit nombre de termes de la série proposée , à celled’ün petit nombre de termes d’une autre série extrêmementconvergente et qui converge d’autant plus rapidement qu’on apris un plus grand nombre de termes de la première. Dix oudouze termes de chacune font ordinairement le même effet queplusieurs milliers de la première seule.

Il ne nous est pas possible de donner ici plus qu’une esquissedes nombreuses découvertes que contient l’ouvrage de M. Stir-ling, et nous avons été obligés de nous borner au plus simple desartifices qu’il propose pour la sommation des suites ; car M.Stirling y présente divers autres théorèmes qui abrègent encoredavantage le travail; il y donne aussi des moyens de trouvertant de série, susceptibles de sommation absolue ejue l’on voudra,comme celles-ci ^ -H ~ -t- j—j 6tc. = f ■ 1 -H tt ■+- TJ ■+■ rs

-+- Scc. _2. 11 est difficile enfin de se figurer combien de

choses curieuses et intéressantes sur ce sujet présente cettepremière partie de l’ouvrage de M. Stirling dont nous venonsd’essayer de donner une idée.

La seconde partie a pour objet l’interpolation des séries. On