DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 227expliquera ailleurs ce qu’on entend par interpolation ; et lesusages principaux de cette théorie. Son utilité éclate-princi-

f >alement dans divers problèmes qui se réduisent à faire voir quea quantité cherchée se trouve être le terme moyen entre deuxqui font partie d’une suite d’autres termes croissans selon uneloi assignée. L’aire entière du cercle , par exemple , est unterme à placer dans cette suite , 1 ; y ; &c. entra

1 et ÿ. Le logarithme de 11, nombre premier , se trouve lemoyen entre ceux de 10 et de 12 , dans la suite des log. de6, 7,8,9, 10, 12, ï 3 , 14, i 5 dont les log. sont donnés etforment une suite. Si l’on demandoit d’après ces données àdéterminer l’aire du cercle, ou le log. de 11 , ce seroient desproblèmes qui se résoudroient fort commodément par l’inter-polation des séries. M. Stirling y fait un grand usage de la mé-thode différentielle de Neuton qu’il a considérablement am-plifiée et facilitée ; mais comme on a parlé ailleurs avec étenduede cette méthode et de son usage pour les approximations, nouscroyons devoir y renvoyer.

XVII.

Il est peu de géomètres d’un ordre distingué qui ne se soyentoccupés des séries, et qui n’ayent proposé sur ce sujet quelquesnouvelles vues. Les écrits des Bernoulli, Herman, Maclaurin,Euler, Lagrange &c. présentent à chaque pas quelque nouvelartifice pour leur sommation soit absolue, soit approchée , etles recueils des académies de Paris, Berlin, Pétersbourg, de lasociété royale de Londres &c. sont remplis de mé noires relatifsà cet objet. Mais parmi les analystes celui qui paio't avoir traitécette matière avec plus d’étendue, et avoir fouillé cette mineplus profondément et avec plus de constance , est le célèbreEuler. Tout ce qu’il avait fait et publié sur ce sujet pendantplusieurs années, et ses méditations ultérieures ont été rassembléesdans ses Institutiones calculi different}alis cum. ejus usu inanalysi infinitorum et doctrina serierum ( Petropoli, 1 ~j 55 in-If.2 vol. ) et dans sa savante lntroductio in ana/ysirn infinitorum( z/z-4 0 . 2 vol. ) qui sont les vrais élémens de l’analyse trans-cendante : c’est principalement delà que nous tirerons ce quenous avons à dire sur cette intéressante théorie. Nous ne né-gligerons cependant pas de faire connoître les travaux de diversautres géomètres qui s’en sont occupés. Voici une des méthodesles plus générales d’Euler pour la sommation des séries.

Soit proposée la série générale S = ax -4- bx 1 -t- cx J -4- dx 4 &c. ;dans laquelle a, b,c, d, &c. sont des quantités constantes etpositives, et x une indéterminée quelconque. Euler la trans-

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