DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 229on a x = ÿ, a = 1 et Aa = 2 $ ce qui donne pour l’expression

X X *

réduite de la somme , = 1.

On trouvera de môme la série j-t-| -t- &c. = i. Car

l’expression de la somme sera formée de trois termes seulement,parce que les troisièmes différences s’évanouissent et ces trois

*■+•*

termes se réduisent àr=r, ; où faisant x=zl on a la somme ci-

1 _ v '

dessus. Il est inutile d’en donner d’autres exemples ; le lecteurpourra se les proposer lui-même.

Lorsque x = 1, la somme est ascendante et se trouve néces-sairement infinie ; mais en quelque sorte de différens degrésd’infinités $ car x — x est toujours zéro. Ainsi dans le cas où l’on

auroit 1 -t- 1 -4- 1 -4- 1 &c. la somme^=;; mais si l’on avoit lasuite des nombres naturels, la somme seroit composée de deuxtermes et se réduiroit à oc 1 &c. ; la somme des quarrés

1 -j- -4— 9 té, &c. seroit-, — ^ ■ cci, Sc c.

On peut enfin donner a x toutes sortes de valeurs, ce qnïfournira des séries sans nombre ressortissantes de cette méthode.11 faut cependant remarquer que pour qu’elle réussisse, x doitêtre prise moindre que l’unité, car il est aisé de voir que, commedans le dénominateur de la fraction qui exprime la somme entre

l’expression 1 — x élevée à une puissance quelconque, si x = tcette expression sera o et conséquemment la fraction sera infi-niment grande. Il y a au surplus d’autres méthodes non sujettes hcet inconvénient.

Il est maintenant à propos de faire voir comment cette mé-thode s’applique encore aux suites dont les termes sont alter-nativement positifs et négatifs.

Soit une pareille série, par exemple, x — 4 ~ H9— ï 6 -{- 2S&CC.on pourroit la considérer comme la différence de ces deux ,1 -+-9 -+- a 5 -f- 49 -t- hi ôcc. et 4-+- 1 6 -t- 36 - 4-64 &c. , où les secondesdifférences sont constantes. Mais on peut y arriver tout-d’uncoup par le moyen suivant.

Dans la série ax -4- bx 1 -4- cx y -4- dx* & c. si l’on fait x né-gatif et = — \ , et a, b, c, d, e, Scc. = 1,4,9, 2 $

on aura — i-t -4 — 9 -+- 16 — z 5 , ce qui est — (1 — 4 -+-9-— 16 + z 5 &c. ) : or si d’après cette supposition nous cherchonsla somme de ax -4- bx a -+- cx y &c. par la méthode ci-dessus nous

trouverons pour la valeur totale _^ Mais ici x —— 1, ce qui

réduit cette expression à ceci ==- 3 = o ; conséquence, pour le