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Ces conséquences n’étonneront probablement pas, mais ce quiparoîtra peut-être un paradoxe c’est le résultat des recherches deEuler sur cette série singulière jtrcuvée pour la première fois parWallis dans ses recherches sur les interpolations et qu’il appellehypergéométrique. C’est celle-ci : 1—24-6—24+ 120—720+5040 &c.S’il est quelque série qui paroisse devoir être infinie c’est sansdoute celle-là, vu la rapidité avec laquelle croissent ses termes.Euler trouve néanmoins par diverses méthodes que cettesomme, en l’entendant comme ci-dessus, n’est par approximationque 0.096347^621237.

Il est un autre genre de séries dont Euler s’est beaucoupoccupé; c’est celui dont Wallis a donné le premier exemple enexprimant le rapport du cercle au quarré du|diamètre parle produitcontinu et infiniment prolongé de ces fractions, ^|. E-’. 17’.&c.

Euler fait voir comment une série de la forme ordinaire peutêtre transformée en une de la forme Wallisienne et il en tire unefoule de conséquences remarquables, spécialement la sommationde séries qui avoient jusqu’alors éludé les efforts des analystes;ce sont celles qui sont formées de fractions dont le numérateurétant l’unité, les dénominateurs sont les nombres naturels élevésaux différentes puissances entières , quarré , cube &c. Uned’entr’elles sur-tout avoit fait le désespoir des analystes, savoircelle-ci & c * Jacques et Jean Bernoulli

y avoient usé leurs forces ; et jusqu’en 1740, Euler lui même n’enaonnoit la solution que par une méthode qu’il avoit imaginée

f >our hâter la convergente d’une série. Nous en parlerons dansa suite de cet article. Ici Euler est plus heureux, non-seulementà l’égard de cette série, mais de toutes ses semblables exprimées

généralement par 1 -+-j„ -t-ÿ, -+-E. H trouve, au moyen de cette

transformation des séries ordinaires en produits de facteurs ,ou de ceux-ci en séries ordinaires, que la série générale ci-dessus,quelque soit n , est toujours égale à une puissance n de la demiecirconférence du cercle ri ( le rayon étant l’unité ), divisée parcertaine fraction. Ainsi l’on a :

1 £ *+■ -j- -+- "f“ T &C.

1 7 -+■ i -+■ T &c -1 i HT & c -

1 -t-T6-+-fT-*-ÏTé & C - :

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CO.

»S-7'M34*

ï &c. < 5 cc.

9 »

Si nous avions poussé plus loin cette énumération, l’on re-marqueroit que les séries de puissances paires sont déterminées

exactement