zi 4 HISTOIRE

Lorsqu’on aura ce terme général on trouvera facilement leterme sommatoire ; car il sera S = A. ' n m +' + B'æ" + C' u m ~' &c.série qui se terminera lorsque m sera un nombre déterminé ; etles quantités A' , B' , G' &c. se détermineront par un procédésemblable au précédent, savoir par la comparaison de la formuleci-dessus, avec autant de sommes successives des premierstermes de la série, qu’on aura de quantités A', B', C', &c. àdéterminer.

Mais ce nombre de séries, quoique considérable est bienlimité en comparaison de celles où le terme général ne peut êtreassigné, ou du moins à l’égard desquelles on n’a pu encore yparvenir. Telles sont en particulier la plupart de celles où la loide la progression n’est pas constante , mais dans l’expression delaquelle entre le quantième de la place occupée par le termecherché dans la série. On en a un exemple dans celle-ci:3,2, 6 , 24, 120, 720 &c. dont la loi de la progression estcependant fort simple puisqu’elle est Ar = B. 11 y a néanmoinsquelques-unes de ces séries dont on assigne le terme général ,mais le plus grand nombre a jusqu’ici éludé les efforts desgéomètres.

Au reste si dans une multitude de séries, soit de ce genre, soitdu précédent, on ne peut assigner le terme général en expressionfinie, on peut toujours le faire du moins en série infinie.

Soit, par exemple cette série a -t- b -+- c -+- dSc c., son termegénéral sera a (b — a ) (a: — 1) -H ( c — 2 b a) (x — 1 >

(^)+ (d- 3 c + M~a). (x — i).(^)x(^)&c., où :r

désigne le quantième du terme de la série,- il est évident que siles quantités a, b, c , d, &c. sont telles que jamais un ordre dedifférences ne devienne zéro, cette série ne se terminera pas ;mais elle exprimera le terme général en donnant a x la valeurconvenable relativement au quantième du terme cherché de lasérie. Cette détermination, quoiqu’cncore imparfaite , du termegénéral d’une progression quelconque est néanmoins utile dansbien des cas, et en particulier dans les interpolations ainsi qu’onle verra dans la suite.

Il arrive quelquefois qu’on a le terme sommatoire et fini d’unesérie. On peut alors par une marche rétrograde repasser de ceterme au terme général, et voici comment. En nommant S lasomme de la série jusqu’à un terme dont le quantième soit n ,S sera nécessairement donné en n , ou une fonction quelconquede n. Que dans cette expression on substitue s+iàfl, il estsuffisamment clair que cela donnera la somme de la série jusqu’àun terme de plus; nommons-là S' , l’on aura alors le terme