2f 2 HISTOIRE

en fractions décimales. A côté de cette colonne formez en uneautre dont les termes seront successivement, le premier de lasérie , la somme des deux premiers , celle des trois premiers , etainsi de suite , en ayant égard aux signes.

La troisième colonne sera formée des moyennes arithmétiquesentre le premier et second terme de la troisième colonne , entrele second et le troisième , entre le troisième et quatrième , etainsi de suite.

La quatrième sera formée de même des moyennes arithmé-tiques entre les termes de la précédente , et ainsi de suite, jusqu’àce que l’on soit arrivé à une dernière colonne, qui ne contiendraplus qu’un terme. Ce dernier terme sera une valeur approximéede la série, exacte d’ordinaire jusqu’à la sixième ou septièmedécimale. Voici le type de cette opération appliquée à la recher-che de la valeur de la série i —t + t— 7-+--} , &c. qui est le loga-rithme hyperbolique de 2 , et dont la valeur doit être o. 6 p 3 i 47 *

A

B

c

-+- 1.000000

— o. 5 ooooo-H 0.333333- 0.200000

-h 0.200000

— 0.166666-+- 0.142857

- O. 125 o 0 O

-+- 0.111111

1 - 0.100000

1,000000o. 5 ooooo0.8333330.5833330.7833330.616666

0.7590240.6346240.746635o. 6 q 5635

v.

0.750000

0.666666

0.708882

0.683333

0.699999

0.688096

0.69702.4

0.690080

0.696635

D

0.708833

0.687499

0.695888

0.691666

0.694007

0.692560

0.698552

0.692858

E

0.697916

0.691666

0.698744

0.692886

0.698288

0.698056

0.698205

F

0.69479 1

0.692705

0.693290

0.693069

0.693169

0.693131

G

0.6937.48

0.692998

0.698229

0.6901240.698155

II

0.6933780.6901140.6981760.698187

I

0.693243

0.698145

0.698156

K

0.6901880.698150

F

0.69.479*0.69270 50.6932900.6930.690.6931690.693131

L

0.693169

Il est aisé de voir que si l’on eût pris quelques termes de plusde la série , on eût eu les six décimales ci dessus , et mêmequelques-unes de plus , tandis qu’en sommant la série à la ma-nière ordinaire , quelques milliers de termes eussent à peinedonné le même résultat. Le travail peut même être considéra-blement abrégé ; car le progrès du calcul montre qu’il eût suffide prendre les moyeunes proportionnelles entre les cinq ou sixderniers termes de la seconde colonne, parce qu’ils convergent