26S HISTOIRE

De même pour les fonctions de deux ou plus de variables,que la fonction F(:r: y) fût ay — xy-i-xx-, sa différentielle,en faisant varier x et ensuite j-,seroit dxF r {x :y)-+-dyF"(x :y) toit est a — x , et F "(x:y) est a — xix. Lors

donc qu’on parviendra à connoître ces deux fonctions , onaura en intégrant, si la chose est possible, la fonction désignéepar F (x -y ).

L’emploi fréquent qu’on fait dans l’Analyse transcendante deces fonctions , sous une forme indéterminée , nous nécessite àfaire connoître un théorème utile sur cette manière. Qu’on aitcette équation a — x -+- çx = o, où <px est une fonction quel-conque de x , et qu’on ait en même-temps une antre fonctionde x, comme yx, il s’agit de trouver la valeur de ÿx expriméeen a. II est bien vrai qu’au moyen d’une élimination plus oumoins laborieuse, on y parviendroit peut-être, si la fonction qxn’étoit pas fort compliquée ; car ayant a — x -+- yx = o , onpourroit, à la rigueur, en tirer la # valenr de x exprimée en a;et cette valeur substituée dans la fonction -y-x , au lieu de x,donneroit en a la valeur -yx ; mais cette élimination sera leplus souvent, ou extrêmement laborieuse, ou même impossible,comme si ç.-r étoit une fonction un peu compliquée ou d’undegré supérieur , ou même transcendante, telle qu’une quan-tité circulaire ou logarithmique. Il a fallu s’ouvrir une nouvellevoie pour trouver au moins une valeur approchée de vx. Onen a l’obligation au cit. Lagrange ; il a fait voir (i) que dansce cas de l’équation a — x <tx = o , et en nommant

x y on aura ■ ’V'x ($x-\- ^

ddyx

2.3 . dx *

—t— &C.}p

dans laquelle équation , après avoir fait les différenciations in-diquées , il faudra , au lieu de x , mettre a. Nous voudrionspouvoir donner ici des exemples de l’usage de cette formule ,ils justifieroient son importance ; mais ils nous entraîneroientdans des détails que ne comporte pas la nature de cet ouvrage.11 nous suffira donc de dire que le cit. Lagrange en fait unnsage remarquable dans les Mémoires de Berlin , cités ci dessus ,en s’en servant, tant pour la résolution des équations littérales,que pour celle du laineux problème de Kepler.

On a dit au commencement de cet article que la théoriedes fonctions algébriques avoit été entre les mains du citoyenLagrange un moyen d’envisager sous un nouvel aspect les plusintéressans problèmes de l’Analyse , de la Géométrie et mêmede la Mécanique , et de donner aux principes des calculs dif-férentiel et intégral une solidité nouvelle et indépendante de

(1) Al dm, de Berlin , ann. 1768 et 1769.