DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 287

e — ï V~ 1 — x -H V xx — 1 ; d’où , en dégageant x , on tire

enfin x = - . , ■ — -

2]/- 1

On trouvera de même que y , ou le co-sinus de z , sera

.y =

t^V — 1 -v r~tl

expressions singulières par leur com-

plication d’imaginaires ; mais qui n’en sont pas moins propresà déduire avec facilité diverses vérités sur les propriétés rela-tives de l’hyperbole et du cercle , des moyens nouveaux decalculer les rapports des sinus , co-sinus, tangentes et des arcsmultiples ou croissant arithmétiquement, Scc.

En effet, supposons (Jig- bj ) une hyperbole équilatère dontle centre soit C et la demi-axe transverse = 1 , l’abscisse comptéedu centre — x , le secteur CAB = a , l’ordonnée BD =y ; ilfaut d’abord remarquer que l’ordonnée BD dans l’hyperbolerépond au sinus, et l’abscisse CD au co-sinus dans le cercle.Supposant donc ce que dessus , on trouve dans l’hyperbole

l’équation différentielle da — ^ ^ — > dont par un procédésemblable au précédent on tire x— •-- 4 V ‘ , et y =valeurs qui ne diffèrent de celles trouvées pour le cercle, que

parce qu’ici on ne trouve point l’expression imaginaire ~V —1.

Cette analogie entre le cercle et l’hyperbole se soutient etse démontre par ces expressions entre les sinus et co-sinus del’un , et les ordonnées et abscisses de l’autre. Car de mêmeque dans le cercle, sinus ax cos. é-H cos. axsin. é = sin. a-\-b,de même dans l’hyperbole si l’on a deux secteurs ( qui répondentaux arcs ou aux secteurs qui leur sont proportionnels dans lecercle ) , on doit avoir ord. a x absc. de b , -+- ord. b x absc. a= absc. a -t- b , et cela se démontre au moyen des expressionsci-dessus , qui se trouvent les mêmes, sinon que celles pour

le cercle sont compliquées du signe imaginaire ~V —1, tandisque l’expression pour les abscisses et ordonnées de l’hyperboleen est affranchie. Lambert , dans un mémoire de l’académiede Berlin, année 1768, et intitulé Observations trigonomé-triques , a mis dans un jour particulier cette symbolisationentre les sinus et co-sinus du cercle et les ordonnées et abs-cisses de l’hyperbole, que par cette raison il nomme sinus etco-sinus hyperboliques , et il la démontre par un parallélismeexact et presque une identité entre les formules de sinus etde co-sinus, et même de tangentes, selon les différens cas ourapports d’arcs circulaires, et celles des sinus , co - sinus et