DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 289étant traitée de la même manière , des formules qui , quoiquecompliquées d’imaginaires , ne laissent pas d’avoir leur uti-lité ; mais les exemples donnés ci - dessus doivent suffire ence lieu.

Une formule dont il est fréquemment fait usage dans lesécrits des analystes modernes , et principalement de ceux duContinent, dans les recherches physico - mathématiques , estcelle-ci : Que <p représente un angle quelconque, on a

—- ■- - - n

cosf rfc ~V —1 sin. nq> = cos. 9 rtr ~V —1 sin. <ç , ce qui sedémontre de diverses manières ; i°. par le simple calcul ana-lytique des sinus et co-sinus d’angles , comme on le voit dansXAnalysis infinitorurn d’Euler, cap. VIII ; 2 0 . au moyen ducalcul différentiel j on peut voir au surplus l’une et l’autre danschapitre III des Elémens du caLcul intégral des PP. Leseur etJacquier. Le célèbre Jean Bernoulli, qui est le premier auteurde cette introduction des imaginaires dans le calcul, employéd’une manière ingénieuse cette expression à en trouver uneautre dont il déduit les expressions générales des co-sinus etsinus d’arcs multiples. Car l’expression ci-dessus donne i°. en em-

ployant les signes supérieurs V--cos. n<p ;

"V — 1 sin. n< p

1 sin. «<p=cos.<p-fV— 1 sin. <$>

en employant les signes inférieurs , on a

-T7-' -”, d’où l’on a

cos. n<p — cos. 9 — V — 1 sin. 9 ’

zV'-

■ 1 sm,

«9 = COS. 9 +V-1 sin. 9 — cos. <p--— 1 /—1 sin. 9 j

donc Sin. n<p = cos. <p - 4 - V— 1 sin. 9 — cos 9 — t/— 1 sin, 9 . et paj.

1 V — 1

un procédé semblable , tirant la valeur de cos. «9, on trouve

COS. n<p = cos. 9 4 - \é~ 1 sin. 9 cos. 9 — y/— i sin. 9

2

Or réduisant par la formule du binôme ces puissances n decos. — 1 sin. 9 en séries, les soustrayant l’une de l’autre

pour sin. ny, et divisant par 2V— 1 , les ajoutant et divisantpar 2 pour cos. n<p, on a cette double série, dont ont disparu

les imaginaires , cos. «9 = cos. 9” — n ~' cos. 9'” 1 sin. 9*

■ 1—î —l -“ cos. 9 sm. 9 > et sin * vq> = ~cos. 9 sin. ^

— cos • V 1 sin. <î> 5 1 &c. La loi de la progression est

évidente pour quiconque est un peu versé en analyse. On voitégalement que toutes les fois que n sera un uombre entier ,la série se terminera, et l’on aura une expression finie pour lesinus et le co-sinus de l’arc multiple.

Tome III. O o