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Supposons donc deux équations telles que celles-ci :xy 3 -t- 2 bby -t- xxy -+- x 3 = oay* -+- xy* -t- ixxy -t- ax 1 = o ;chacune de ces équations est une équation indéterminée etlocale, dans laquelle en supposant à x par exemple différentesvaleurs , l’autre inconnue y prend autant de valeurs différentes,et c’est-là la raison pour laquelle , afin que l’une et l’autre soitdéterminée , il faut deux équations. Il en faudroit trois s’il ya voit trois inconnues , &c.

Pour faire disparoître une des inconnues , par exemple y ,et arriver enfin à une équation toute en x , on désignera pardes lettres, comme A , B , C, &c. les fonctions de x qui multi-plient les différentes puissances de y dans la première , et parA', B', C' les facteurs de semblables puissances de y dans laseconde \ ce qui changera les deux équations en celles-ci :

A y + By + C = oA 'y* -4- B 'y -f- C '■=. o.

Maintenant si l’on multiplie la première équation par A' etla seconde par A, qu’on ôte l’une de l’autre, on aura une équationoù y 1 ne paroîtra plus, savoir A'B 'y — AB r y -+- A'C— AC'= o ,ce qui donne A'B— AB'.j/-i-A'C— AC' = o.

Pour trouver ensuite une seconde équation en y y qui com-parée avec celle-ci serve à éliminer entièrement y , il faudramultiplier la première des proposées par C', et la seconde

1 >ar C , et les ôter l’une de l’autre ; ce qui faisant évanouires termes non affectés de y , permettra de diviser l’équationrésultante par y , et l’on aura

( AC' — A'C )y s- ( BC' — B'C ) = o.

Nous avons donc à présent ces deux équations :

( A'B — AB' ) y -+- A'C — AC' = o( AC' — A'C ) y -+- BC' — B'C = o,

qui traitées de la même manière , donneront pour équationfinale , dont y aura disparu ,

(A'C—AC') x (AC'—A'C) h- (A'B—AB') x (BC'—B'C) = o.

Or l’on voit ici que les quantités A , B , C , &c. A', B', C'ne contenant que l’inconnue x et ses puissances , l’équationmontera au huitième degré. En effet , restituons à ces diffé-rentes quantités leurs valeurs , et effectuons les opérations in-diquées , on trouvera l’équation qui suit :

x* — 3 ax 1 -f- a 1 — ^bbx 6 — ^abbx’ -f- itaïbbx' -f- \ab*x' — i\c^b\x‘ = o. ^

Si