DES M\T HEMATIQUE S. Part. V. Lit. I. 3 i y.

Nous nous bornerons à indiquer divers autres problèmesaussi difficiles que piquans pour les géomètres du premierordre , qui furent agités vers cette époque entre les deux il-lustres frères MM. Bernoulli. Tels furent les suivans : Décriresur la surface d’un cône droit entre deuæ points donnésqui ne sont pas sur un même côté du cône la ligne laplus courte. — Trouver la même chose sur la surface d’unconoi'de on sphéroïde. — Plusieurs courbes comme des arcsde cercle ou d’ellipse ayant même aæe horizontal étant dé-crites , trouver la moindre comprise entre leur sommet commun,et une ligne donnée de position. — Plusieurs logarithmiquesdu même aæe et passant par le même point étant données ,trouver la courbe qui , partant d’un point donné de l’aæe >les coupe toutes sous le même angle. Celui-ci , enfin. Etantdonnées une infinité de cycloïdcs ayant même origine et leurbase dans la même horizontale , trouver la courbe qui lescoupe toutes, de sorte qu’un corps roulant par une quelconquede ces cycloïdes , arrive à la courbe cherchée dans le mêmetemps. Jean Bernoulli lui donna par cette raison le nom dela courbe synchrone.

Je remarquerai en passant que les solutions de ces problèmesfurent pour la plupart données sans démonstration et sansl’analyse qui y avoit conduit ; ce qui a dans la suite donnélieu à quelques géomètres de l’académie des sciences d’exercerlçur sagacité à y suppléer. C’est ce qu’ont fait avec succèsSaurin et Nicole. On peut voir leurs travaux sur ce sujet dans'les Mémoires de l'académie des sciences , années 1709, 1710,1716. Mais revenons à MM. Bernoulli.

La plupart de ces problèmes , il faut en convenir , sembloientdirigés par Jean Bernoulli pour tenter et embarrasser Jacquesson frère. Celui-ci avoit la supériorité de l’âge ; il avoit enquelque sorte introduit Jean dans la carrière <le la géométrie;il ne put voir sans en être piqué cette espèce de provocationcontinuelle de son frère , et rassemblant en quelque sorte toutesses forces , il lui lança le fameux problème des isopérimètres ;ce problème est celui ci : De. toutes les courbes comme ABC( fig. 61), de même contour et sur une même base, détermi-ner celle dont les ordonnées élevées à une puissance quel-conque forment la plus grande somme possible , ou pour dé-velopper ceci davantage , soit la courbe ci-dessus A CB sur hvbase AB , et l'ordonnée PC soit élevée à une puissance quel-conque n ; que PD enfin soit proportionnelle à PC", on de-mande laquelle de toutes les courbes isopérimètres à ACB estcelle qui donnera l’aire ADB la plus grande possible.

Il- est à la vérité aisé de Yûir que lorsque cette puissance est