DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. III. 689

Ses solutions sont conformes à celles que les premiers auteursauxquels on doit des théories du mouvement des fluides, onttrouvées , d’après la supposition que les dilféreines tranches dufluide conservent exactement leur parallélisme en descendantdans le vase. (Voyez \'Hydrodynamique de Daniel Bernoulli,XHydraulique de Jean Bernoulli , et le Traité des fluides ded’Alembeit ). La Grange l'ait voir que cette supposition n’estexacte que lorsque la largeur du vase est infiniment petite; maisquelle peut dans tous les cas être employée pour une premièreapproximation, et que les solutions qui en résultent sont exactesaux quantités du second ordre près, en regardant les largeursdu vase , comme des quantités du premier ordre. Mais le grandavantage de cette analyse est qu’on peut par son moyen ap-procher de plus en plus du vrai mouvement des fluides dansdes vases de figure quelconque : car , ayant trouvé les premièresvaleurs des inconnues, en négligeant les secondes dimensionsdes largeurs du vase, il sera facile de pousser l’approximationplus loin, en ayant égard successivement aux termes négligés;ce détail n’a de difficulté que la longueur du calcul, et la Grangene le donne pas. Mais il fait l’application des mêmes formules,au mouvement d’un fluide contenu dans un canal peu profondet presque horizontal, et en particulier au mouvement des ondes.

Le calcul intégral des équations aux différences partiellesest encore bien éloignée de la perfection nécessaire pour l’in-tégration d’équations aussi compliquées que celle dont il s’agit.Et il ne reste d’autre ressource que de simplifier cette équationpar quelque limitation.

On suppose pour cela que le fluide dans son mouvement nes’élève, ni ne s’abaisse au-dessous ou au-dessus du niveau qu’in-finiment peu, ensortc que les ordonnées de la surface supérieuresoient toujours très-petites , et qu’outre cela les vitesses hori-zontales soient aussi infiniment petites. C’est avec ces conditionsque la Grange essaye de résoudre ces problèmes. Il trouve uneparfaite analogie entre les ondes formées à la surface d'une eautranquille, par les élévations et les abaisseinens successifs de l’eau,et les ondes formées dans l’air , par les condensations et raréfac-tions successives de l’air, analogie que plusieurs auteurs a voientdéjà supposée, mais.que personne n’avoit encore rigoureuse-ment démontrée.

Ainsi, comme la vitesse de la propagation du son se trouveégale à celle qu’un corps grave acquerroit en tombant de lamoitié de la hauteur de l’atmosphère supposée homogène, onen peut déduire la vitesse de la propagation des ondes commenous le verrons dans l’article XII.

Pour les fluides élastiques , la Grange donne une formule quiTome III. S s s s