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46 MÉCANIQUE CÉLESTE.

Si l’on assujettit les variations des coordonnées à satisfaire auxcourbes décrites, on a Bi = o, Si'= o, etc. on a donc alors

o = 2.p. 5/;

et comme les courbes décrites sont elles-mêmes arbitraires et nesont assujetties qu’aux conditions de la liaison des parties du sys-tème, l’équation précédente a lieu, pourvu que ces conditionssoient remplies, et alors l’équation (A) se change dans l’équation(/). Cette équation est la traduction analytique du principe sui-vant, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles.

« Si l’on fait varier infiniment peu la position d’un système decorps, en l’assujettissant aux conditions qu’il doit remplir, lasomme des forces qui le sollicitent, multipliées chacune par l’es-pace que le corps auquel elle est appliquée parcourt suivant sa«direction, doit être égale à zéro, dans le cas de l’équilibre du« système. »

Non-seulement ce principe a lieu dans le cas de l’équilibre, maisil en assure l’existence. Supposons, en effet, que l’équation (/) ayantlieu, les points m, ni, etc. prennent les vitesses v, v, etc. en vertu desforces mS, m'S', etc. qui leur sont appliquées. Ce système serait enéquilibre, en vertu de ces forces et de celles-ci — mv ,— mv, etc.désignons par Si’, Si/, etc. les variations des directions de ces nou-velles forces; on aura, par le principe des vitesses virtuelles,o — S . mS. S s —2 . m . v S v ;

mais on a, par la supposition, o—2. m.S.Ss; on a donco = 2 . m.t’Si;. Les variations Sr, Su', etc. devant être assujet-ties aux conditions du système, on peut les supposer égales àvclt, v'dt, etc. et alors on a o=2 .mv\ équation qui donne v=o,v'= o, etc. c’est-à-dire que le système est en équilibre, en vertudes seules forces ni 5, m'S', etc.

Les conditions de la liaison des parties d’un système peuventtoujours se réduire à des équations entre les coordonnées de ses