64 MÉCANIQUE CÉLESTE.

Zj", etc. en supposant donc le système libre, les conditions rela-tives à la liaison des parties du système n’influant que sur lesvariations ZJ, ZJ', etc. la variation Sa; en est indépendante, etelle est arbitraire; ainsi, en substituant dans l’équation (P) dun° 18, au lieu de Zx, Zx, etc. Zy, Z y', Z y", etc. leurs valeursprécédentes, on doit égaler séparément à zéro le coefficient de Zx,ce qui donne

o = s. m . Wiy-yi**) + S . m . {Py _ Qx) .

d’où l’on tire, en intégrant par rapport au temps t,

c = 2.m. Hv-yfe) ^S./.m.[Py-Qx).dl;

c étant une constante arbitraire.

On peut, dans cette intégrale, changer les coordonnées y,■iy> etc. dans z, z, etc. pourvu que l’on y substitue, au lieu desforces Q, Q', etc. parallèles à l’axe des y, les forces R, R', etc.parallèles à l’axe des z, ce qui donne

: S . m.

(xdz — zdx)dt

: Z.f.m.(Pz — Rx).dt;

c étant une nouvelle arbitraire. On aura de la même manière

♦

„ „ (y dz — zdy)

c—2à.m. — ---

dt

2 ./. m. (Qz — Ry) .dt;

c" étant une troisième arbitraire.

Supposons que les corps du système ne soient soumis qu’àleur action mutuelle, et à une force dirigée vers l’origine descoordonnées. Si l’on nomme, comme ci-dessus, p l’action réci-proque de m et de m, on aura, en vertu de cette action seule,

o = m. [P y — Qx)~+~m. (P'y — Q'x) ;ainsi l’action mutuelle des corps disparaît de l’intégrale finie