78 MÉCANIQUE CÉLESTE,

on aura donc, en intégrant par parties,

-=£U.

- 2 .fm . 5 r . Ç' (r). f/ 5 .

Les points extrêmes des courbes décrites par les corps du sys-tème étant supposés fixes, le terme hors du signe f disparaîtdans cette équation; on aura donc, en vertu de l’équation (5),

S.S./m. (v) ds—2.fm.<)v.<p'(v).ds — 'L.fmdt. (Pèx-\-Qày-i-Ràz)

mais l’équation [T], différentiée par rapport à 5, donne2 .fm. h v. (p' [v) . ds = 2 .fmdt. (PS x-\~Qèy-hRhz);on a donc

o = § . 2 .fm. (fi (v). c/s.

Cette équation répond au principe de la moindre action dans laloi de la nature, m . 0 (v) est la force entière du corps m; ainsi ceprincipe revient à ce que la somme des intégrales des forces finiesdes corps du système, multipliées respectivement par les élé-ments de leurs directions, est un minimum : présenté de cette ma-nière, il convient à toutes les lois mathématiquement possiblesentre la force et la vitesse. Dans l’état de l’équilibre, la sommedes forces multipliées par les éléments de leurs directions estnulle, en vertu du principe des vitesses virtuelles; ce qui dis-tingue donc à cet égard l’état d’équilibre de celui du mouve-ment est que la même fonction différentielle, qui est nulle dansl’état d’équilibre, donne, étant intégrée, un minimum dans l’étatde mouvement.