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LIVRE TROISIÈME.

la force accélératrice est dirigée vers le point fixe; autrement lestriangles que nous venons de considérer n’auraient pas mêmehauteur. Ainsi la proportionnalité des aires aux temps démontreque la force accélératrice est dirigée constamment vers l’originedu rayon vecteur.

Dans ce cas, si l’on imagine un très-petit secteur décrit pendantun intervalle de temps fort court; que, de la première extrémitéde l’arc de ce secteur, on mène une tangente à la courbe, et quel’on prolonge jusqu’à cette tangente le rayon mené de l’originede la force à l’autre extrémité de l’arc, la partie de ce rayon in-terceptée entre la courbe et la tangente sera visiblement l’espaceque la force centrale a fait décrire. En divisant le double de cetespace par le carré du temps, on aura l’expression de la force; or,le secteur est proportionnel au temps; la force centrale est donccomme la partie du rayon vecteur interceptée entre la courbe etla tangente divisée par le carré du secteur. A la rigueur, la forcecentrale, dans les divers points de la courbe, n’est pas propor-tionnelle à ces quotients; mais elle approche d’autant plus del’être, que les secteurs sont plus petits, en sorte qu’elle est exacte-ment proportionnelle à la limite de ces quotients. L’analyse diffé-rentielle donne cette limite, en fonction du rayon vecteur, lorsquela nature de la courbe est connue; et alors on a la fonction de ladistance à laquelle la force centrale est proportionnelle.

Si la foi de la force est donnée, la recherche de la courbe qu’ellefait décrire présente plus de difficulté. Mais, quelles que soientles forces dont le corps, toujours supposé libre, est animé, ondéterminera facilement de la manière suivante les équations dif-férentielles de son mouvement. Imaginons trois axes fixes perpen-diculaires entre eux, la position du corps à un instant quelconquesera déterminée par trois coordonnées parallèles à ces axes. Endécomposant chacune des forces qui agissent sur le point en troisautres dirigées parallèlement aux mêmes axes, le produit de la