XXXII

INTRODUCTION.

le coefficient de l’une quelconque de ces puissances sera uneJonction de l’exposant ou indice de cette puissance. A est ce queje nomme fonction génératrice de ce coefficient ou de la fonctionde l’indice.

Maintenant, si l’on multiplie la série A par une fonction linéairede la même variable t, telle, par exemple, que l’unité plus deuxfois cette variable, le produit sera une nouvelle fonction généra-trice dans laquelle le coefficient d’une puissance quelconque dela variable sera égal au coefficient de la même puissance dans A,plus au double du coefficient de la puissance inférieure d’uneunité. Ainsi la fonction de l’indice, dans le produit, égalera lafonction de l’indice dans A, plus le double de cette même fonctiondans laquelle l’indice est diminué de l’unité. Cette fonction del’indice dans le développement du produit est ainsi une dérivéede la fonction de l’indice dans A, dérivée que l’on peut exprimerpar une caractéristique S, placée devant cette dernière fonction.La dérivation indiquée par la caractéristique dépend du multi-plicateur de A, que nous désignerons par B, et que nous sup-poserons développé comme A par rapport aux puissances de lavariable t.

Si l’on multiplie de nouveau par B, le produit de A par B, cequi revient à multiplier A par le carré de B; on formera unetroisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient d’unepuissance quelconque de t sera une dérivée semblable du coeffi-cient correspondant du produit précédent ; on pourra donc l’ex-primer par la même caractéristique S, placée devant la dérivéeprécédente ; et alors cette caractéristique sera deux fois écrite de-vant le coefficient correspondant de la série A. Mais, au lieu del’écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant le nombredeux.

En continuant ainsi, on voit généralement que, si l’on multi-plie A par la puissance n de B, on aura le coefficient d’une puis-