670 THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

la sortie d’une blanche, d’atteindre x points avant que son ad-versaire n’en ait x — x ; ce qui est le problème des partis *.

Si r on examine avec attention la forme de l’expression généralequi donne z x on reconnaîtra que ce problème peut encore êtrerésolu, et même avec simplicité, au moyen de la théorie des com-binaisons : en effet, soit a le nombre des boules blanches conte-nues dans l’urne du joueur A, et b celui des noires; a le nombredes boules blanches du joueur B, et b' celui des noires; en consi-dérant, comme l’on a déjà fait, l’ensemble de deux tirages suc-cessifs de A et B, comme un coup,

aa sera le nombre des combinaisons dans lesquelles les joueursamènent chacun une boule blanche;

ab' celui des combinaisons qui donneront une boule blanche à4, et une noire à B ;

La fonction génératrice de z x . x - se réduit dans ce cas a

. (i —t)(i —ÿ’f—pff')'

et I équation aux différences partielles correspondante serait

Zx , x' —— (J Z r ~—i, x' *+* P Z j —»,x — ii

dans laquelle z x , x • est une fonction de x et de x', que nous désignerons par 0(.r, x'); sil’on fait x — x'= s, on aura

0 (x , x') — <P (s -i- x',x'),

et si l’on représente par z,, x - cette dernière fonction, il en résulte

Zx , x' Z t , X* ) - I 1 , x' -—L Z s — I, x' > —— 1 , x' t —~ Zf ' X-— 1 i

et l'équation aux différences partielles se change en celle-ci,

Zg.x' — (J £j — i, x' “H p Zx\ —i.*

équation à laquelle conduirait directement le problème des partis dans les conditions énon-cées ci-dessus. En faisant attention que par suite de cette transformation z ,, 0 — i et r 0 , x — o,et que z 0 , o ne peut avoir lieu, il est aisé de voir que la fonction génératrice de z,, * sera

_ f (»- î'O_

(i-f) ’

dans le développement de laquelle le coefficient de ft' z sera l’expression de z ,, x .-