2272

W i r k u n g.

sich der Körper dem Puncte A immer mehr nähern, aber ihnerst in einer unendlichen Zeit erreichen. Ist endlich A P klei-ner als h, so wird der Körper noch über den Punct A hin-ausgehen und die ganze Peripherie BCADB der Curve im-merwährend durchlaufen.

Wenn der Körper sich auf einer krummen Oberfläche zubewegen gezwungen ist und wenn, aufser dem anfänglichenStofse, keine weitere äufsere Kraft auf ihn wirkt, so wirdseine Geschwindigkeit v constant sein, und dann wird das In-tegral der Gleichung (4)

fvd s = vfds = vs,

d. h. in diesem Falle ist der Bogen s, den der Körper aufder Oberfläche beschreibt, zugleich der kürzeste fVeg, den erauf dieser Oberfläche zwischen den beiden Puncten, dem An-fangs — und dem Endpuncte A und B seiner Bewegung, nehmenkann. Aus der hier statt habenden Gleichförmigkeit der Bewegungfolgt zugleich, dafs der Körper von A nach B auf jenem WegeAC' CB in einer kürzeren Zeit kommen wird, als wenn erauf derselben Fläche irgend einen anderen Weg zwischendenselben Endpuncten A und B genommen hätte. Denn da^ s

dt=— und v constant, s aber ein Minimum ist, so mufsv

auch <9t und mithin t selbst ein Minimum seyn.

Setzt man nämlich in der obigen allgemeinen Gleichungder Bewegung die Gröfsen P, P’, P" . . . gleich Null, so er-hält man den Ausdruck

<9 2 x.dx 4* d 2 y.dy -f- d 2 z.dz = 0,und dieses wird daher die gesuchte Gleichung der kürzestenCurve seyn, die auf irgend einer krummen Fläche zwischenzwei gegebenen Puncten derselben gezogen werden kann. Umdiese Gleichung näher zu bestimmen, sey u = 0 die Gleichungder gegebenen krummen Fläche, also auch

+

) <Jz = 0.

Eliminirt man aus diesen beiden Gleichungen z. B. die GröfseJx, so erhält man

[0 52 y-(|)H Jy+ [(S) ö2z -(£)H Jz=0 ’