Arithmeticorum Liber VI. 315

' I 10 N. vnde fit t N. noti miner quam 2 -.sumes ergo pro minore quemlibet numerum maioremquum 2 fidum is st minor quam 3. nam fi poneretur maior quam 3. non ejfet tamminor duorum qud-Jit orum , jedmaior vt euidensefi■ Sume igitur verbi grana 2 2 . pro minore, erit maior 10. horum m-itrmiuum 7 cuius femiffis 3- +• erit perpendicularis A D- nam eius quadratus ff: additus ad 23,quadratum 'ipsius D C. facit ^fg quadratum ipfius <±A C. Quare A C. vel A B. e fi 6 fi B C. 10.l-r* A. 3 ±. Qj- auccndo omnia m 4.fiet A C vel A B. 23. *2 C. 40. A D. /y.

Tertio , p; ascribi potest numerus perpendicularis A D. vt fi ponatur i2.tuncque quarendits erit qua-dratus, pro quadrato ipfius D C. qui ad 144. additus quadratum faciat \jedji lubeat oxygonium fa-cere triangulum , quaremus quadratum minorem quam ipfe 144. fin autem amblygomUrn conflituendumfit triangulum, quaremus quadratum maiorem quam 144t Quod vtrurnque, vt prius . perficietur.

Quarto , denique prajcnbi pctefi, numerus perpendicularis B E vt pote 24. & tunc simio hypotenu-fam cnjufiibet trianguli r esi anguli, puta f 3. & Flatuo in Numeris, ponoqus quodlibet aqualium late-rum AB. AC. / N. & (i oportet facere triangulum oxygonium pono semissent bafis puta D C. minuslaterum circarefltum , puta 3 N. erit ergo tota bafis 6 N. Qpamobrem 1 cum fit vt B C. 6 N.adAC. 3 N ■ fic B E. 24. ad A D. inuenietur A D. 20. cuius 'quadfatuS 4O0. ctii addendo 9 Q^ qua-dratum ipfius D C. fit vtiqne4oo -4- 9. Q^jsqualis quadrato ipfius A C. at idem quadratus e fi 23.XQjrgo 23. Q^aquantiir 400. -4- 9- Q^&tandem 16 Q_^ aquantur 400. & fit 1 N. 3. rft ergo A B.vel A C. 23. B C. 30 A D. 20. Sed fi confli tuendum est triangulum amblygontum , pofita A C. vel A B.5 N. vt prius, pono D C. matus laterum circa reblum, puta 4 N. ervo tora B C. efl t N■ 7 unc faciovt S N. ad 3. N. ita 24. ad aliud, & fit A D. 1 3. cuius quadratus 223. cui addendo 16. Q^quadratumipsius 2) C fit 223 -4- 16 Q^j,qualis 23 Q^jquadrato scilicet ipfius A C. & tandem 223. aquantur9 Q^jvndcfit 1 N. 3. e fi ergo A C. vel A B. 23- B C. 40. A D. i 3. inielligendum tamen B E Cadereextra triangulum, j

Qaurum non agimus de segmentis bafis d perpendiculari faBiS , quia cum triangulum est rationale,

segmenta illa fiunt rationalia per corollarium fecundi lemmatis.

PROBLEMA SECVNDVM.

Triangulum oxygonium scalenum constituere in rationalibus, Vtpespendicula-cularis ab angulo acuto demissa sit rationalis.

Ponatur latus A C. quilibet numerus , vt pote 10. cuius quadra-tus ioo.diuidaturin duos quadratos , vt pote in 64. Lc z6. quorumlatera 8. & 6. & ponatur A D maius horum laterum puta 8. & D C.minus puta 6. & esto B D. 1 N. quadrati ergo ipsarum B D. A D.putal<\-+ 64. aequantur quadrato ipsius AB. Quare vtAB.su rationa-lis, oportet 1 Q^-4* 64. aequari quadrato. Quoniam vero angulus Aportitur acutus 2 est ratio D C ad A D minor ratione A D, ad B D. acproinde productus ex B D. in D C. puta 6N. minor est quadrato ip-sius AD. qui est 64. vt ostendit Clauius ad vigesimam septimi. Ergocum diuidendo 64. per 6. stat io. f. pateti N. minorem esse deberequam 10 t Aliter reperietur Numeri determinatio , hac arte scilicet. Quia vt trianguli omnes an-guli sint acuti, 3 oportet quadratum cuiuslibet lateris minorem esse aggregato quadratorum abslijs lateribus. Hoc autem vt sit,oportet quadratum cuiuslibet lateris minorem esse semisse aggregatiquadratorum a singulis lateribus, fumo aggregatu quadratorü a singulis lateribus, est autem quadra-tus A C. 100. quadratus B C.i Q^-t- 36 -+• 12 N.quadratus A B 1 Q. -+ 64. quorum summa 2Q.

2oo -t- \z N. cuius semissis I Q_-+ 100.-+ 6 N. quem euidens est maiorem esse tum quadrato ipsiusA C. 100. tum quadrato ipsius A B 1 Q. -4* 64. Restat vt etiam 1 Q^-f» 100 -+ d N. sit maior quain1 Q. H- '-4. 12 N. Quare ablatis verimque squalibus, oportet vt 64. sit maior quam 6 N. Quaretstuiso 64. per 6. fit 1 N. minor quam 10. j. vt prius. Iraque quoniam fingentes latus quadrati 1 Q^*■+ 64. ponemus illud 8. — tot numeris, a quorum quadrato auferendo 1. per residuum diuidatursedecuplum ipforutn numerorum, oportebit hunc quotientem minorem esse quam 10 f. PonaturCr go numerus Numerorum 1 N. fiet ,^ä,. minor quam 10 & omnia ducendo in I Q_- 1. & rur-

sus in 3. fient tandem 48 N. -4- 32. minores quäm 32 QAeu 3 N. -+ 2. minores quam 2 Q. q lIaAquatione resoluta cimi fiat I N. 2. patet fingendum latus quadrati 8.- tot Numeris qui excedant2. Ponatur 8.-5 N, fiet 1 N. 3 4. tanta erit B D. Quare A B est8 A Cio. BC^j.A D. 8.

SCHOLIVM.

Hic etiam loco vniits laterum,ptascribi posset ipsa perpendicularis A D. vt pttta 12. Tunc ergo quatea "os quadratos qui additi a d 144. quadratum ipfius 12 faciant quadratum, hac tamen legevt velvtriuf-^ Ue qua fit orum latus fit minus quam 12. vel st alterum fit maius alterum minus, maioris ad 12. fit mmotr ati 0 , quam ipfius 12. ad minus vt videlicet conftituatur triangulum oxygonium. Quadrati quorumAtera minora fimi quam 12. fumo $ t,& 23, Pofita ergo A D 12. ent B D.3. DC. 9. atque adeo tota B C.

R r ij

A

Lemma primam*

Lemma tertiant)

rj. fecundi*