De multangulis numeris.

3

E.A...B..D...G

druplo producti ex B G. in G D. vnä cum quadrato ex BD. Quod ita probatur. Quoniam AB"

supponitur aequalis summae duorum B G. D G. quorum interuallum B D. 1 pater quadruplum pro- Quinta z„ducti ex BG. in DG. vnä cum quadrato interualli B D. aequale este quadrato summae ipsorum

B G. D G. hoc est quadrato ipsius AB.

Secundum est , quod ait Diophantus quadruplum pröducti B A. in A E. vnä cum quadruploquadrati ex A E. xqu ari quadruplo producti ex toto BE. in A E. Quod euideiis est* quia 2 produ-ctus ex BE. in E A. aequatur producto ex B A. in A E. vnacum quadrato ex A E.

Tertium est, quod ait Diophantus, quadruplum producti ex B E in A E, vna cum quadratoex AB. aequari quadrato compositi ex B E. EA. Quod rursus patet per j. 2. pörisinatum ciun AB,siit interuallum ipsorum B E. E A.

Potest autem ha:c propositio & vniuersalius concipi, & breuius atque etiam facilius demon«strari, hoc pacto.

Si fuerint tres numeri in medietate arithmetica, octuplum producti ex medio itvquemlibet extremorum, adfciscens quadratum alterius extremi, sequatur quadratocompositi ex medi) duplo, & ex illo extremo qui in medium octies ductus fest.

sint tres numeri acu in medietate arithmetica,& sit D.duplum medi), j dicooctuplum producti ex B. in vnum extremorum C. vnä cum quadrato alterius ex-tremi A. «quari quadrato compositi ex ipsis D C. Quia enim sunt in medietate

A 2. By. C 8

arithmetica ipsi ABC. erit duplum medij, puta D^ 5 sequale summa: extremorum A C. Quare < J u ^ ntär -P ö ütipsorum D C. interuallum erit A. Quadratus autem compositi ex ipsis D C: 4 aquatur quadratis quarta *•ipsorum D C. & duplo producti ex D. in C. seu quadruplo producti ex B. in C.Quadrati autem ip- quarta i. porig

forum DC. 5 sequantur rursus duplo producti ex D. in C, seu quadruplo producti ex B in C. &quadrato interualli A . Igitur quadratus compositi ex ipsis D. C. äeqüatur octuplo producti ex B»ihC vnacum quadrato ipsius A. Quod erat ostendendum. Eodem prorsus argumento probabituroctuplum producti ex B in A. vnä cum quadrato ipsius C, aequari quadrato compositi ex ipsisA D. Igitur ex omni parte constat propositum.

Aliter etiam Francifcus Vieta propositionem hanc demonstrauit lib. 8. variorum de rebus ma-thematicis responsorum, per ipsam scilicet Algebra: operationem häc arte. Sit minimus trium nu-merorum arithmetica medietatis A. A sit disterentia B. ferit ergo mediüs A 4- B. maximus vero AB. bis & si ducatur medius A 4— B. in maximum A 4— B. bis fit A Quad; 4~ A inB. ter q— BQuad. bis. quod si sumatur octies, & producto addatur A Quad. fit vtiqueA Quad. nouies -j-A inB quater & vicesies q- B Quad. sedecies. Hic autem numerus est quadratus ä latere A, ter 4-B. quater vt euidens est. Et A ter 4- B quater aequatur composito ex maximo & medi; duplo, ciunmaximus sit A 4 - B bis, & duplum medij sit A bis 4-^ Bbis. ErgO constat propositum.

Eodem artificio demonstrabitur altera nostrae proposition^pars. Ducatur enim minimus Aiamedium A 4 - B octies, & producto addatur quadratus maximi, fiet A Quad. nouies 4- A in B;duodecies 4 - B Quad. quater qui numerus quadratus est ä latere A ter q- B bis quod aequatus,minimo & medij duplo.

PROPOSITI O TERTIA.

C.a..y,.d.ii

B.A.. G..D..E

S I sintquotcunque numeri «quali in«teruallo se superantes, interuallummaximi & minimi, multiplex est interual-li ipsorum, secundum numerum vnitateminorem eo quimultitudihem proposito-rum numeroirum exprimit.Sint enim quot-

S

Af amv omcuodv mi dzepo-

ii v^o^ti, 'tvu (Mytstv rovlAct-, S dzspoytis stuT TroAA-ctT^yasicov'ov yp\iddh eAdasova Tod 7^.tjdvvQ vwii/uevcov dßiQftaiv. LSwoR» y) S^vcv/svr

libet numeri AB. BG. BD. BE. «quali uei9 w) oi Cy. &. cy bti dsSpoyn.

sc superantes interuallo.Ostendendum est, dnxJw ‘cm ilm a.C. C«.

quod interuallum ipsorum A B. B E. mul- «§. Cy. da$oyn$ TmVba.TrAa.Qiuv «sj Xytiplex est interualli ipsorum A B. B G. so- jupvddt iAdasova t£öv etC-Cy. Cd.Ci.$m) ^eundum numerum vnitate fistnorem multi- dbdzmvxi oi aC. Cy. Cd. Ct. crhy da$ 0 ctudine ipsorum. AB. BG. BD.BE.Qtio- 0 j ^ «>. yd. di. tw&rit «Mii-

niam enim expositi sunt AB. BG. BD. BE. ^ rod *y. mAAuwAdaioq

®^uali interuallo se superantes, erunt ipsi

A ij