IO

Diophänti Alexandrini -

H. 4. E. 2. G 1.

A. 5. B 7. C. 9. D. 11.

L. 8.8.12.

Sint ABCD. in progressione arithmetica, cuius differentia E. cuiusfemissis G. & interuallum inter A. & G. esto H. interuallum autem interduplum ipsius A.& E.esto L. dico quod fit octies ex E.in summam omniumABCD. cum quadrato ipsius L. aquari quadrato compositi ex duplo ipsiusD. & ex E. sit enim K. summa ipsorum D G. quia igitur octuplum producti ex E.in omnes A B C D.cum quadruplo quadrati ex H. est quadruplum producti qui fit bis ex E. in eosdem A B C D. & qua-drati ex H. At productus ex E. in A B C D. bis , quadratus ex H. sequatur quadrato ex K.per proce-dens theor .patet octuplum producti ex E.in ABCD. cum quadruplo quadrati ex H. aquari quadru-plo quadrati exK. at quadruplum quadrati ex K. est quadratus, cuius latus duplus est ad K. & cum(K.componatur ex D. & ex G. duplum illius componitur ex duplo ipsius D. & ex duplo ipsius G. seuex E. igitur octuplum productitex E. in ABCD. cutrfquadruplo quadrati ex H. quadratus est, cuiuslatus componitur ex duplo ipsius D & ex E. Quia vero interuallum iptorum A G. est H. vtique du-plorum interuallum, puta L. duplum est ad H. ac proinde quadratus ex L. quadruplus est quadrati exH. quamobrem octuplum producti ex E. in omnes ABCD. cum quadrato ex L. aquatur quadratocuius latus componitur ex E. & ex duploipsius D. quod erat demonstrandum.

Sane hoc theoremate in vniuersum de omni progressione arithmetica demonflrauimus, quodDiophantus restringit ad solam progressionem quse incipit abvnitate. Nam illius propositionem abhoc theoremate minime differre cuilibet rem attentius consideranti, statim innotescet, si hoc appli-cetur arithmeticae progressioni ab vnitate incipienti. Quod tamen vt fiat commodissime , tale adhucdemonstrandum theorema.

Theorema sextvm.

In progressione arithmetica quae incipit ab vnitate, productus ex duplo numeriterminorum vnitate multato in differentia progressionis, adfumpto binario, sequaturcomposito ex differentia, & ex duplo maximi termini.

Sint ABCD.in arithmetica progressione , cuius differentia E. & sitA. vnitas, numerus terminorum H. cuius duplum K. & sit L. vnitate mi-nor ipso H. cuius duplum F. cui addita vnitate fiatG. eritqueG» vnitateminor quam K. cum enim H L. vnitate differant, erit duplorum K F. in-teruallum binarius, quare G. excedens F. vnitate, deficiet vnitate ab ipsoK. dico itaque productum ex G. in E. adsumpto binario, aquari compo-sito ex duplo ipsius D. & ex E. Nam productus ex L. in E, aquatur interuallo extremorum DA.per tertiam huius.

Quare si producto ex X.. in E. addatur vnitas A. fiet numerus D. acA B C D io proinde si producto ex F. in E. addatur binarius, fiet duplum ipsius D.A ’ 1 ' ' 7 ‘ quamobrem si G. vnitate maior quäm F. ducatur in eundem E. & producto

4 ' addatur binarius fiet vtique numerus continctis bis ipsum D. & semel ip-

5 ‘ sum E. quod erat demonstrandum.

7 * Hinc porro manifeste infertur propositio Diophanti.sint enim AB C D.

in arithmetica medietate, Lt sit A. vnitas, disterentia progressionis E. quas binario multata relin-quat G. & duplum numeri terminorum esto K. vnde ablata vnitate, supersit-L. dico si E. ducaturocties in summam omnium ABCD. & producto addatur quadratus ipsius G. fieri quadratum,cuius latus binario multatum, continet E toties, quot sunt vnitates in L. quia enim a differentia E.auferendo duplum minimi termini A. puta binarium, relinquitur G. vtique per 5. theoremanurae-~ c . rus qui fit octies ex E. iiv summam omnium ABCD. cum quadrato ex G.

^ 4 ; sequatur quadrato cuius latus componitur exE.& ex duplo ipsius D. At

■”’ 1, 7 * - 1 ?* * 9 ’ per sextum theor. ipsi E. & duplo ipsius D. sequatur productus ex L. in E.

7 * auctus binario. Igitur qui fit octies ex E. in summam omnium ABCD.

adsumens quadratum ex G. sequatur quadrato, cuius latus aquale est producto ex L. in E. adsumentitnnarium. Patet ergo si a latere huius quadrati auferatur binarius , relinqui productum exL. in E.seu numerum qui toties continet E. quot sunt in L. vnitates, quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO SEPTIMA.

E ga> (ruvuutpcKrtpa 75? tiQ. Qft. 'Jmg 0 ct. ^ I t vtrique H T. T M. aequalis A.

rr<w 0 0 €.ra j tW <rwupt<po- ipsi autem KB. aequalis B, Ac pro-

vtpou 7$ »0. Sfi. ^ 78 ’iauq 0 y. a iyct> ducto ex vtroque HT. TM.inKB. aequa-

o7i 0 & 7 D csuv^tpovipm tS „g. roü 7ssJ lis sit G. dico quod quadratus compositi

c )kn tS «. ’Qk r )kro tS k£. roustsi 6Ä ex vtroque H T. TM. hoc est ipsius A.

E. da

A. i. B. 7. C* 13. D. 19.H.4.K8.

L.3.F . 6 .

G. 7.