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par le diviseur i + c, à la partie déja trou-vée dti quotient.

Ainli supposons que la série générale^

soit terminée à — c 3 , on aura - - -, , c +

= i—c+ca — c -j- 7^ —ï 4 C— ^2 ^ <4* C ^ CÎ —— C* c*

x 4 c

i~+T Ear conséquent la valeur exacte de

, I

I 4 i

est

•fa — x -f

2 -— t + ! * * I * ' r I + I

& cette valeur se trouve toujours égaleà 5, & non pas zéro à x. Voye{ dans lesmémoires de f académie de 171 y , un écrit deM. Varignon, où cette difficulté est éclaircieavec beaucoup de foin.

Pour s’instruìre à fond de la matière desfuites, on peut consulter le traité de M.Jacques Bernoulli ; intitulé TraSatus deferiebus infinitis , earumque fummâ firtitâ ,imprimé à Balle en 1714, à la fuite deY Ars conjeclandi du même auteur ; leseptieme livre de Y Analyse démontrée du P.Reyneau ; l’ouvrage de M. Newton ,intitulé Analyfis per cequationes numéro ter-m-norum itifinitas ; enfin le traité de M.Stirling, de fummatione Jerierum & celuide M. Moivre , qui a pour titre Mtfcel-lanea analytica de feriebus & quadraturis.On joindra à ces ouvrages la lecture d’ungrand nombre de mémoires fur cettematière,composés par MM. Euler , Ber-noulli , &c. imprimés dans les volumesdes académies dePétersbourg & de Berlin.

Pour extraire les racines d’une fuiteinfinie, vojej Extraction des Racines.

Retour des séries ou des suites . Voyez(article RETOUR.

Dans la doctrine des féries , on appellefrnclion continue , une fraction de cetteelpece à l’infini

n

b 4 c

d 4 e

f +

h 4 &c,

Euler a donné, dans les Mémoires de(académie de Fétersbourg , des recherches* Ur ces fortes de fractions.

Interpolation des féries ou fuites. Elleconsiste à insérer dans une fuite de gran-Tome XXX.

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deurs qui, suivant une certaine loi , unou plusieurs ternes qui s’y conformentautans qu’il est possible. Cette méthodeest à peu près la même que celle de fairepasser une courbe du genre parabolique,partant des points qu’on voudra. Par exem-ple, si on a quatre points d’une courbe aslèzprès les uns des autres , & qu’on veuilleconnoître à peu près les autres pointsinter médiaires;on prendra un axe à volonté,& on menera des 4 points donnés lesordonnées a , b ,c , d , qui ont pour abs-cisses e , /, g y h. On supposera ensuiteque l'ordonnée de la courbe soit en généralA + B x -fi C x' -f E x 3 ; & on fera.

A- j- BeArCe z -k-Ee i= a>

A + Bf+Cp-A-Ep = l>,

A -fi Bg+ c g í+ Egi^CyA -f Bh + Ch 2 + Ehs=d.ce qui fera connoître les quantités ^

C , D &. par ce moyen on aura les ordon-nées de la courbe parabolique pour uneabscisse quelconque *. Or ces ordonnéesne différeront pas beaucoup de cellesqu’on cherche. Voye^ les Mémoires de taca-démie de Fétersbourg , tome II. page 180. (O)

Aux réflexions lumineuses de l'article précé-dent fur la nature des expressions analit iques ,qu’il nous soit permis d'ajouter ici une feuleobservation.

On peut regarder une férie fous deuxaspects, d’abord , comme étant la valeurd’une certaine quantité , a'ors il faut quela série soit convergente ; & dans ce cas »plus on en prend de termes , plus leursomme approche de la grandeur cherchée.On peut encore regarder une férie commel’expression d’une quantité quelconque ,expression assujettie à une certaine forme.Si la quantité n’est pas réellement suscep-tible de cette forme , le nombre des termesde la férie ne peut être fini ; mais ils suivententr’eux une certaine loi, & c’est de laconnoissance de cette loi qu’on peut partirpour,trouver la fonction finie qui, déve-loppée en Jérie , auroit produit la sériedonnée. Toute série n’est pas le dévelop-pement d’une fonction finie , ni même del’intégraie d’une équation différentielledonnée. Nous nous proposons donc danscet article, après avoir exposé d’abord les