S E R

On pourroit méiriÊ se dispenser de cettetransformation en logarithmes, conser-vant en cfFet le numérateur & le dé-nominateur , 6c appelant $ la valeurd u produit de

+ i $

s e n

te

8§r

2

rme n de la forme ( t, m -f a ;i m ' *... )e f n -j- ( a' n ,nì -j- b' n ' n ~ r " ‘ ) f / n Sic.

La forme générat rice sera i me/me dor.tle dénominateur serai — f* m +' X i —/ipm’+i gcc. & le^numérateur dépendrades premiers termes de la série en nom-ce qui se réduit bre fini.

i termes, on auroit

a ri + b' " ,l,n ],

r +c x j 2°. Sile terme général est, rappelants)

immédiatement à des équations aux dif- j pour un terme n , donné par une- équ ationférenres hnies , & fi on vouloit les avoir i n m ( n) -J- Uli jen séries , on auroit ( Voye ç ci - destiis ■

& Y article DIFFÉRENCES

FINIES , )

+

/ u "' n +h" n x\ , d$

\ 1 tt ? 77 ^ + ^ +

<M $

+ i

+ c

&C.

d d $

0 , équation qui reste

(«—i) + —

o la fonc-

(V 1 ) ■v+ sltn \

d ( n —2 ) « — i ( n — 1 )— :

tion génératrice fera la valeur de y tirée, ,,, . Bdy Ci 2 y

del équation V=Ay + -f x +

dx 2

!

2. , d n i ’

à résoudre en féries. On voit donc que j dla sommation indéfinie de cette especede féries dépend encore du calcul desdifférences finies.

Si on cherche comment une équationen y & * a pu donner pour y cette valeuren produits infini s, on trouvera que, soitíaity = o , cette série doit être le produitde toutes les racines de ce que devientalors cette équation en x & y. II suit delà que dans Tétât actuel de l’analyfe iln’y a que quelques cas particuliers où l'onait le moyen d’avoir ces prdduits , demaniéré que chaque terme soif sous uneforme finie. Voyez les institutions de M.Euler, déja citées.

La troisième forme de séries est cellepar les fractions continues. Voye{ ceterticle.

, Si Ton cherche à réduire en fraction con-tinue une fonction donnéepar une équation,

°n fera d’abord y = ~, on cherchera çfonction donnée fous la forme

j 7i - i

± _7

n — I

Ç d" y

-OU

dx n

Q — i + ai

•f b 1 x -f C 1

+ exS....(n):

-}■ b x

& on aura

■f ex*

4 . a+ bx+,ex 2 +exl . + ( n ) x n .

en niite au lieu de ca. 2 -f-cxh...&c.onprendra

\ —î—:- ), & ainsi de fuite.

V «■ + f * &c, J ’

’ * &c,

Maintenant je dois examiner le rapportil y a encre la forme du terme généralUn 0 e fis‘ e & lâ fonction génératrice.

1 - Si ! e terme général est pour un

-j- b x 2 &C. P — a& ainsi de fuite.

Ainsi , toutes les fois que Téquation eny Ôc x sera algébrique , la férie fera de cetteforme ; mais il n’est pas vrai réciproque-ment que tant que le terme fera de cetteforme la série fera algébrique.

Ainsi, il restera ces deux questions àexaminer - , ìA fi le terme général d’unefonction étant donné , il est susceptible dscette forme.

z. Si cette forme convient à une fonc-tion algébrique, on pourroit prendre en-core pour les racines des équations algébri-ques cette forme du terme général, c’estque Ton doit avoir

{n) A(n — i) + B( n — z) ...

A' ( n) 2 B' ( n — i) 2 .

+ Aï (n)l m ) .= o.

les A étant fans n, cette équation est linéaire,Sc A i B r, donnent le coefficient de ydans Téquation em&y (y est la somme).Les A' B 1 &c. fondes coeffLiens des puis-sances de x dans le coefficient deyi, lesA B les coeffi.ciens des puisantes de a: dansle terme en y'( n ) 1 m ,( « ) 2 & c . désignant!e coefficient de x 71 dans y m yv

Mais jusqu’ici on n’a point de méthodegenér Lî de distinguer , 1c terme gcmeralétant donné par une équation , fi on P euCle rappeler à cette forme. Y oyez Ie> inf-'itutions de M. Euler , & le ffi'emier volumede \ académie de marine qui contient lurVVïVV X