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Flächen ohne Mittelpunet.

Aufgabe 90. Es sei gegebenj/ 2 -f- z 2 — 2 yz — 5.r — 4 y -)- 19z -{— 9 == 0.Lösung. Könnte diese Fläche einen Mittelpunet haben, sowürde er durch die Gleichungen bestimmt werden müssen:

Der Widerspruch, der in diesen Gleichungen liegt, zeigtuns ganz deutlich, dass die vorliegende Fläche keinen Mittel-punct besitzt.

Um zu näherer Ivenntniss der Fläche zu gelangen, führenwir etwa mit der xy parallele Schnitte, so kommt z — k undy 2 — 2(A + 2)y — 5x + (k 2 + 19/c + 9) = 0.

Diess ist aber offenbar die Gleichung einer Parabel vom Para-meter = 5.

Die vorgelegte Gleichung entspricht demnach einem para-bolischen Cylinder.

Aufgabe 91. Es sei gegeben

x 2 -j- 3 y 2 -f- 2 z 2 -)- 2 xy -)- 4 yz — 4a — 6 y — 4z = 0.

Lösung, Für den Mittelpunet hätte man die Gleichungen

“ + ß = 2jc& -|— 3 ß -f- 2 y = 32ß -f 2y = 2)

Aus der ersten Gleichung folgt a — 2 — ß, aus der drittenGleichung y — 1 — ß, und diese Werthe in die zweite Gleichungsubstituirt, geben 4 = 3, woraus hervorgeht, dass die gegebeneFläche keinen Mittelpunet besitzt. Sie kann demnach bloss einelliptisches oder hiperbolisches Paraboloid bezeichnen, je nach-dem ein beliebiger Schnitt mit einer Ebene eine Ellipse oderHiperbel ist. (Mit einer Cylinderfläche haben wir es im gege-benen Falle nicht zu thun.)

Schneiden wir also die Fläche durch xy, so folgt für z — 0x 2 -)- 3 y 2 -f- 2 xy — 4a' — Qy = 0,welches sofort die Gleichung einer Ellipse ist. Die gegebeneGleichung bezeichnet demnach ein elliptisches Paraboloid,

Dasselbe gilt von der Gleichung

3 y 2 -f- 2z 2 -J- 30 y — 16z — 6x -j- 35 = 0.