4 NOTES.

Ptolémée dit bien qu’on aura AE ; mais il n’explique pas comment. Quand on aura AE on auraencore bien de la besogne.

Il seroit curieux de mettre en parallèle les proce'de's des anciens, réduits en formules, avec la formulesimple et unique qui nous donneroit la solution cherchée. Voici comment on pourroit s’y prendre :

Soit m : n le rapport des sinus; m : n : : sin. A : sin. B,

m-hn : m — n : : sin. A sin. B : sin. A — sin. B : : tang. { ( A-t-B) : tang. f (A — B)

cotang. Ÿ ( À -t- B ).

donc tang. j (A — B) = cotang. ± (A-t-B) = ( l _«J

\m + nj \i + —J

N * mS

La solution est bien simple. Mais les anciens ne connoissoient pas les tangentes. Au lieu de cela ,suivant The'on, ils faisoienl : AE : EG : : m : n. D’où AE ■+• EG : EG : : m -+- n : n.

AG. n AG

- 5 ensuite EZ = GZ — EG = j AG —EG.

Donc EG =

(t)

Après quoi DE s: EZ * 1 “ DZ , Enfin DE : EZ : : j diamètre: | corde 2 EDZ: -.diamètre : corde 2 EDZ.

EZ

donc corde 2 EDZ = - diamètre.

DZ

arc AB = ADZ -4- EDZ = \ ABG ■+■ EDZ —

ABG ■+■ 2 EDZ

Ainsi leur solution demandoit trois fois autant de calcul que nous en ferions avec nos tables de sinuset de tangentes en nombres naturels. Mais sans tangentes , nous n’aurions rien de mieux que leursolution trigonomé trique.

Pag. 55 (/îg.). Quoique la démonstration dePtolémée soit assez simple et qu’il n’y faille rien changer, onsera sans doute bien aise de trouver comment on peut démontrer sa formule par notre trigonométrie.sin. GE : sin. ZG : : sin. Z : sin. E.sin. AB : sin. AE ::sin. E : sin. B.

sin.DZ: sin. BD :: sin. B: sin. Z. /

Multipliant")

terme à terme V sin. GE.r/n. AB. sin. DZ=sin.Z&sin.ATL. sin. BDet réduisant J

, sin. GE sin. ZG sin. BDdonc

ou

sin. AE sin. DZ sin. ABcorde 2 GE corde 2 GZ corde 2 BD

corde 2 AE corde 2 DZ corde 2 AB '

c. 2 GE : C.2EA::c. 2 GE

c. 2 GZ e. 2 AB

c: 2 ZD ‘ c. 2 BDc. 2 GZ c. 2 BDc. 2 ZlT e. 2 AD

c. 2 EA

Premier théorème de Ptolémée. Quant à l’autre qu’il donne sans démonstration, on le trouveraainsi :

sin. AG : sin. GD : : sin. D : sin. Asin. BE : sin. AE : : sin. A : sin. Bsm. DZ : sin. BZ : : sin. B : sin. D.

et Wduisant 1 }^’ AG * S ‘ n ’ BE ‘ *"*• DZssm». GD .sin. AE. sin. BZ.

corde 2 AG corde 2 GD c. 2 BZ

sin. AG

donc-——

sin. GD sin. BZ

y ou

Ch. xi» pag. S7 («).

sin. AE sin. DZ sin. BE

corde 2ZA corde 2 TZ

c. 2 AE c. 2 DZ c. 2 BEC.2AG;c.2AE::^ D ‘ C - 2ffi

c. 2 DZ ’ c. 2 BZ

corde 2 Eli

corde 2 AB corde 2 TH corde 2 EB

corde 180® corde 180 0 corde 2 long,

c. 2 oitliq. c. 2 déclin- corde 180°