Geometrische Ausgaben.

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Uebrigen hätte man sich auch in den vorhergehenden Aufgaben im-mer k> priori von der Existenz entweder des Maximum oder desMinimum überzeugen können, was wir indessen unterließen, da diegegebenen Auflösungen selbst uns darüber stets den nöthigen Auf-schluß gaben.

§. 1 .

Geometrische Aufgaben.

I- In einen gegebenen geraden Kegel ^80 soll ein Cylin-der LbNO (Fig. 9) beschrieben werden, dessen Basis auf der Basisdes Kegels liegt, und welcher von allen Cylindern, die diese Be-dingungen erfüllen, den größten Rauminhalt hat.

Zunächst leuchtet die Existenz des gesuchten Maximum leichtein. Ist nämlich vb---x —0, so ist auch das Volumen des da-durch bestimmten eingeschriebenen Cylinders —0. Wächst nun x,so wächst anfänglich auch jenes Volumen. Da aber, wenn x —V6geworden ist, dasselbe wieder verschwindet, so muß wegen der stetigenVeränderung des Cylindervolmuens dasselbe, von irgend einem Werthevon x zwischen 0 und V6 an, wieder kleiner werden, um sich fürx —V6 wieder auf ü reduciren zu können. Es muß also wenig-stens ein größtes Volumen oder ein Maximum der Funktion ill(x),welche das Volumen darstellt, existiren.

Um nun zunächst diese Funktion Ajx) zu bestimmen, sei Lk6Uzuerst irgend einer der dem Kegel eingeschriebenen Cylinder. Mansetze ferner Üb — 8i) — b und VO — r. Man hat nach diesen

Bezeichnungen immer die Relation:

während der Inhalt des Cylinders duxch die Gleichung gegeben ist':Ül(x) --- NX*?.

Eliminirt man aber ^ mit Hülfe von (1), so ergiebt sich

(2) u(x)--nl,x--^-

In dieser Gleichung nun soll x so bestimmt werden, daß die Funk-tion ill(x) ihre ausgezeichneten Werthe annimmt.

Da wir uns schon oben von der Existenz wenigstens einesMaximum überzeugt haben, so giebt es stets noch einen zweiten Cy-

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