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Fünfte« Kapitel.
die Gleichung (5) unendlich oft dieselbe Gerade erhält. Auchdie kürzeste Linie erhält man durch Gleichung (6), wenn rationalist, unendlich oft, da für dieselben Kanten dieselben Werthe von xsich wiederholen, nachdem S um ein von abhängiges Vielfaches
von 2 n gewachsen ist. Wenn dagegen irrational ist, nimmt x
nur für einzelne ^ gleiche Werthe an, so daß man nie die einzelnenCurvenzweige wiederholt erhalten kann. Man sieht auch leicht, wiedie Curve, wenn man 6 über 360° hinaus wachsen läßt, sich inWindungen um den Kegel herumzieht.
Es ist ferner klar, daß x für gewisse S auch negative Wertheannehmen kann, so daß die Strecken x von 6 aus in entgegenge-setzter Richtung abgetragen werden müssen. Man erhält also einenCurventheil auf der zweiten Kegelhälfte, welcher zwar von demersteren getrennt ist, aber dennoch mit ihm Eine Curve bildet, da-beide durch ein und dasselbe Entstehungsgesetz verbunden sind.
Die Asymptoten der Curve werden durch die Kanten bestimmt,welche die Curve in der Unendlichkeit schneiden, für welche also xunendlich groß wird. Man muß also diejenigen Kanten 6'b", undbestimmen, welche bei der Abwickelung parallel mit wer-den. Für dieseik Fall hat man aber:
W. oder ö .
und' W. oder 6!, — n—
mithin die entsprechenden Werthe für 6 auf dem Kegel selbst:
6
und
- r
wobei zu bemerken ist, daß wegen der Vieldeutigkeit des Winkels ädie Curve mehrere Asymptoten haben kann, ja sogar unendlich
viele, wenn — irrational ist.
r
Aus der Differenz 6,-6, kann man leicht die Anzahl derWindungen finden, in welchen ein Curvenzweig den Kegel umschlingt.Es ist nämlich:
- 6 .- 6 .--^ 2 ,-.