Isoperimetrische Aufgaben.
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die homologen Winkel bei 6 und l) keine Rechte wären, so könnteman, während die Längen der Seiten ^6, 68, 88 und 8^, alsoauch die Segmente ^86, 688, 860 und 88H. »»geändert bleiben,doch die Größe des Vierecks, also auch die Größe der ganzen Figurvergrößern, indem man einzig und allein ^8 so ändert, daß dieWinkel bei 6 und 8 Rechte werden. Der Umfang der ganzen Figurist bei dieser Transformation derselbe geblieben. Da nun aber derInhalt der ganzen Figur ^86868^ ein Maximum sein soll, ihrInhalt also nicht mehr vergrößert werden kann, so müssen die Winkelbei 6 und 8 Rechte sein. Die Punkte 8 und 6 können aber beliebigauf dem Umfange angenommen werden, es müssen also die eben ent-wickelten Bedingungen für alle Punkte des Umfangs gelten, d. h. cö mußdie fragliche Figur ein Kreis sein. Freilich ist hiermit eigentlich nurerst bewiesen, daß die eine Hälfte ^868 ein Kreis sein muß. Dieandere Hälfte -^888 hatte zwar denselben Flächeninhalt, wie ^868,aber ihre Gestalt war noch als verschieden von der andern Hälfteangenommen worden; man hatte sie dann ohne den Inhalt zu ver-ändern erst in eine zu -^868 symmetrische Lage tranöformirt. Daman nun aber auch, wenn man von dieser Hälfte ^.888 ausgeht,und die andere Hälfte -V868 in eine zu ihr symmetrische Lage bringt,darauf geführt wird, daß ^868 ein Kreis ist, so folgt, daß es nichtmehrere Figuren von verschiedener Gestalt giebt, welche bei gegebenemUmfang den größten Inhalt haben, sondern nur eine, nämlich den Kreis.
Der umgekehrte Satz, daß der Kreis bei gegebenem Inhalt denkleinsten Umfang hat, beweist man hieraus leicht durch einen indi-rectcn Beweis.
Eine große Fülle von Folgerungen ergeben sich leicht aus diesemSatze, von denen wir nur einige wenige hier anführen wollen.
Von allen Figuren, welche von einer Geraden und einer anderenLinie 8 von gegebener Länge begrenzt werden, hat der Halbkreisden größten Inhalt; und umgekehrt, wenn der Inhalt gegeben ist,so ist der Umfang des Halbkreises das kleinste 8.
Es folgt dieser Satz leicht, wenn man sich den Halbkreis zueinem ganzen Kreise vervollständigt denkt.
Ist dagegen die Gerade auch von gegebener Länge n, so hatdas Segment, welches durch einen Kreisbogen von der Länge 8 be-