Saßlettgebictcg nab beg Saßlcnbegriffeg erforberten, waren eg bie jenen entfprecßenben inbcrfen Ope-rationen, weldje eine folcße Erweiterung nötßig malten. ©oßte bie ©ubtracticm, bereit Aufgabe fießunter ber g-orttt x+b (ober b+x) =a barftcßeu läßt, für alle möglichen gausext Sailen a unb battgfüßrbar fein, fo mußte bie natürliche Saßlettteiße jenfeitg ber 0 erweitert werben, fo baß bie frühereSaßlenreihe unb biefe Erweiterung fieß fortan alg pofitibe unb negatibe Saßlenreiße gegen-überftaubeit unb bie Steiße ber gaujen Saßlen fomit eine nidßt nur nach einer, fonbern nach 2 ©eiten ittgUubegrenjte forttaufeube würbe. Sie entfpredjenbc gorbcrung tn SBejiehung auf bie Sibifton, bte ©lei-cßuttg x-b=a ober b-x=a unter aßen Untftänben lögbar 31t machen, führte ebenfo jur Slnnaßtneber fcßon ben ©rieten befannten gebrochenen Saßlen. Sie pofitibett unb negatiben, ganzen unbgebrochenen Saßlen finb ßinretcßcnb, um bie linearen ©leichungcn unter aßen Umftänbett auflöfen 31tföntten. |>at man aber in ber ^oten^irung bie Ouabrate, Äitben tt. f. w. biefer Saßlen feinten ge-lernt, unb fragt man nun nach ber 3 aßf, welche, in bie 2 te, 3 te u. f. W. ^potenj erhoben, irgeub eineber big baßin befannten 3ahlctt gibt, ober wiß man aßgemeiner auch bie ©leichuugen höherer ©rabeunter aßen Untftänben auflögbar machen, fo ift wieberum eine Erweiterung beg Saßlettgebieteg burd)Einführung ber irrationalen unb ber fogenannteu imaginären Saßlen notßwenbig. SSäßreub aberPott biefen beiben Saßlengattnngen bie irrationalen Saßlen fich in bie Steiße ber big baßin befanntenSaßlen'bcrart einfiigett, baß fie mit ißnen berglicßen werben föttnen (5. SS. 1 ,4 < f /2 < 1, 5 ), unbbaß man ißnen burd) ganje unb gebrochene 3 aßlen beliebig b. ß. fo naße fomtnen fann, baß ber Unterfcßicbf[einer wirb, alg irgenb eine uoiß fo fleine gegebene 3aßl, — fo treten bie imaginären 3aßlen augber Steiße ber big baßin gefamtten 3 aßlen bößig ßcrattg, finb bon ißnen nießt nur ber ©röße naeßPerfcßieben, fottbertt finb 3aßlen anberer Slrt, fo baß man, — unter ber ftißfcßweigenbett, freiließ bureßnießtg begrünbeten ©orattgfeßung, baß bie bigßer befannten 3aßlen, bie 3aßlen ber reeßen 3 aßlenreiße,bie einjig möglichen feien, — immer wieber behauptet ßat, baß bie imaginären 3aßlen überhaupt feine3aßlen, fottbertt etwa bloße Saßlfontteln ober, wie man fieß lieber augbrüeft, ,,3aßlenfßmbole'' feien,b. ß. Slugbtücfe, welcße 3war in ber Stccßnung gut 3U Perwenbcn feien, bei benett matt fieß aber attunb für fieß nießtg bettfen fönne. Snbettt icß mir borbeßalte, auf bie leßtere Meinung, welcße, wieoft atuß wiberlegt, fieß boeß mit unglaublicher Säßigfeit behauptet unb Pielleicßt noch immer im ©au-gen unb ©roßen bie ßerrfeßenbe ift (bgl. unten wag Satnblß über bie imaginären SSurgeln fagt, u. b. a.),3urücf3ufomtncn, wiß icß an biefer ©teße nur couftatiren, baß bag fo eben bmt ben irrationalen 3aßlen©cfagte ßinreießt, um ißnen ißre ©teße alg Saß len 311 fießern, unb icß wiß barauf anfmerffautmaeßen, baß bag Sterßältniß ber irrationalen unb imaginären Saßlen 31t ben big baßin befannten Saß-lett eine boßfommene Sinologie barbietet 3U bem ©erßältniß, in welcßcm bie gebrochenen unb negatiben31t ber bor ißnen aßein borßaitbettcn Steiße ber gan3cn pofitiben Saßlen fteßen: bie gebrochenen Saßtenfügen fieß biefen ein unb föntten mit ißnen bergließen werben, bie negatiben liegen gatt3 außerhalb je-ner ttrfprünglicßen Saßlenreiße; baßer biejettigeu, welcße glauben, bett imaginären Saßlett bag ©ärger-reeßt berfagen 31t ntüffett, bott einem richtigen ©efüßl geleitet werben, wenn fie aueß bie ^Berechtigungber uegatioen Saßlen bcftrcitcu.

©inb fomit bie 5 genannten Saßlengattitngen nießt alg bon Pom herein gegebene ait3ttfeßen,fonbertt ift cg erft ber gortgaug ber SBiffeitfcßaft felbft, welcßer 31t ißrer Slufffeßttng uötßigt, fo tritt bereigetttßiimlicße Utnftanb ein, baß jebegittal, wenn eine neue Saßlengattung aufgefteßt ift, nießt nur ber aubie ©piße gefteßte Saßlbegriff, fonbertt atteß ber gan3e übrige bereitg gewonnene ©eftanb barauf ßittrebibirt werben muß, ob er atteß itt ^ießuttg auf bie neue Saßlengattung ©eltung ßat. SSerabfäumt