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3 <h werbe mich ba^er lieber über einzelne fragen au^fprec^en, bereit Beantwortung für bie Anfängebeö algebraifdtjen Unterrichtes non 2 Bicf)tigfeit ift.
3 n Bejiehung auf ba§ ©anje biefeS XXnterridE>tS bin idf) mit SBittftein, *) beffen Büdnerjebenfaüö einer oorjüglidjen Beachtung roertf) finb, **) barin einberftanben, baf im Anfänge nicht bieSheorie, fonberu bie Behanblung bon Aufgaben im Borbergrunbe 31t fielen habe, ©rabe weit wirin ber Algebra nicht, wie in ber ©eometrie, in ber überlieferten SBeife Behauptungen beweifen,fonberu bie äSahrEjeitcn cnfwicfeln unb fo in bie ©rfenntnif unb baö Berftänbnip wirtlich ein-führen fönnen, liegt bie Berfudhung für ben ßehrer, ber feinen ©egenftanb lieb hat, fehr nahe, auf bieTheorie bon bornherein ein übertriebenes ©ewicht 3U legen, in ber SReinung, bafi fi<h bei eingchenbemBerftänbnif? bie Ausführung bon felbft machen werbe. ®ie Ieibige (Erfahrung wirb bann freilich gar halbba§ nötige Gorrectib werben. SBittftein beftimmt ferner bie ftyftematifdje ©lieberung ber Algebra mitBedht bahin, bah fie auS 2 berfdhiebenen BegtiffSreihen befteht, welche einanber burdjfreujen, ***) nämlichber ber 7 (Operationen unb ber ber Bahlengattungen, welche nicht bon bornherein als gegeben angenommenwerben fönnen, fonberu beren BotEjwenbigfeit fid) erft im Saufe ber algebraifdhen ©ntwicflung felbft heraus-ftellt. ®ie ßonfequenj beö SpftemeS würbe eS nun erforbetn, jebcsmal, wenn eine neue Bahlengattungeingeführt ift, ju unterfuchen, ob ber ganje für bie früheren Bahlengattungen gefunbene Beftanb bonalgebraifdhen Sä|en auch für bie neue Bahleugattung gelte ober nicht. ©ie$ wäre itibef? jeitraubenb unbnnintereffant. SR an wirb eS baljer im Allgemeinen bei bett Beweifen für bie ganzen Bahlen bewenben,unb bann ohne weiteres ben 0 cf)luj? bom Befonberen aufs Allgemeine machen Iaffen; minbeftenö muhman bann aber barauf hiuweifen, bah öiefer Sch^fi an fieh burchauö nicht beweifenb ift, bah man »h«nur macht, weil unb foweit bie Befultate, 31t benen er führt, richtig finb, unb bah bie SBiffenfchaft biefeBicf)tigfeit erft anbermeitig unb felbftänbig 311 beweifen hat. §ier unb ba wirb man auch folche Beweife311 geben haben, bnmit ber Schüler in ben Staub gefegt werbe, bie übrigen Beweife, Wenn er fiebraucht, felbft 3U finben. ©agegen fchcint eö mir fehr wfmfchenSmerth unb iiberbieS leicht erreichbar3U fein, bah bie Schüler eine Ueberfid)t über bie fchon angebeutete herrliche ftjftematifcfje ©lieberungunferer Algebra mit ihren 7 Operationen unb ihren 5 Bahlengattungen erhalten.
§at man etwa bie ©uflibifche ©rflärung ber (ganjen) Bohl als „einer ans Einheiten beftehenbenBtenge* an bie Spi|e geftellt, fo ift man auch genötigt, nach (Einführung einer neuen Sahlengattungbiefen Bahlenbegriff immer wieber 31t erweitern, — eine (Erweiterung, welche feineSwegS ohne Schwierig-feiten ift. Befonbcre Beachtung berbicitt auch au§ biefem ©runbe ber bon SBittftein eitigefchlageneSBeg, welcher feiner (OarftcHung ber Algebra bitrchweg bie räumliche Auffaffitng 31t ©runbe legt.Siegt biefelbe hoch fchon 31t ©runbe, wenn man bon einer Bahlenreihe rebet, bon ber Beihe bernatürlichen Bahlen. (Er benft fid» alfo biefe Bahlenreihe bon bornherein bargefteüt burdf eine „Beibebon fünften, welche auf einer graben Sinie in gleichen Snterballen neben einanber georbnet finb." (Einerbon ihnen ift ber Anfangspunft unb bon ihm auS läuft bie Beihe einfeitig unbegren3t fort. Seberbiefer fünfte repräfentirt bann eine gan3e pofitibe Bahl. ®ie|e ©arfteHung ift ihm nicht eine ©in-mifchnng ber ©eometrie in bie Arithmetik foubern „eine bem Bahlenbegriffe wefentliche unb ihm ber-möge unfereS pft)d)ifchen Organismus nothwenbig angehörige*', wofür er fich barauf Beruft, bafj bieBahl nach £crbart 3U ben ©runbformen gehört, unter welchen fich ber Snhalt unferer äußeren ©r-
*) ßetjrbmt) ber Stritt)metif für tjöijere Silbungbanftaltcn. fjannooer 1846 . Sßorrebe, ©■ XIV.
”) Stufet bem genannten Sßittftein, ße^rbudj ber Stementar. Sffiattjematit. 2 SBänbe. $annooer 1856, 59 u. 62.
**’) ßetjrbud) bet Stritt)metif. Sßorrebe. ©. IV.
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