(dabei bedeutet r — pX -i- und X — ^ bestimmt sich aus der Gleichung ckl^—Näx-^Xäa),

die gleichzeitig stattfinden müssen, aber so, daß durch sie keine neue Relation zwischen diesen drei Größenhinzugefügt wird. Diese Bedingung kann aber nur erfüllt werden, wenn entweder die zweite Gleichung

identisch ist oder wenn sie in der ersten enthalten ist. Im ersten Falle muß äu -t- äx (a con-

stani) ein vollständiges Differential von u und x sein. Es muß dann ^ integrabel sein.

u

Dazu ist nöthig, daß eine Function von allein sei. Bezeichnet man dieselbe mit so ergiebt

sich daraus

^(x) äX^

' X Xäx /

eine Function, aus der a herausgehen muß. Im andern Falle müssen die beiden Gleichungen miteinander identisch sein. Da die erste der beiden Gleichungen die ersten Differentiale ctx, du, da ent-hält, so muß dann die eine das Integral der andern sein. Es redncirt sich daher die zweite auf:

dr x>dr rdp o

dx ndn udu

Daraus folgen die beiden Gleichungen:

dx " udn ' da ndn '

die gleichzeitig mit der zweiten stattfinden müssen. Ist dann H die bekannte Function von x und a,

so kann man a eliminiren und erhält zwei Gleichungen mit u, x, n. s. f. Aus diesen

Gleichungen lassen sich dann p und seine Differentiale eliminiren, so daß eine Gleichung zwischen xund u resultirt, von deren Identität oder Nichtidentität die Lösbarkeit des Problemes abhängt. Umvon diesem Probleme zu unserm Probleme der Tautochronen zu gelangen, ist nun nur p als eine solcheFunction von u und x zu bestimmen, daß der Ausdruck für t von a unabhängig ist, d. h. L eine

idl

solche Function von x und a ist, daß a für x —a herausgeht. Dies ergiebt —X —— 1 für

x —a. Aus dieser Bestimmung und der, daß für x —0 auch t —0 sein muß, folgt

ä6

ckL—m6x">-iäx.

^ X'" da,da

xdO

wo 6 eine Function von a, m eine positive Zahl ist. Daraus folgt X — ^odä ' ^ ^ von

der Form x -1) sein muß. Es ergiebt sich daraus, daß nicht nur X—0 für x—0 sein muß, son-

dern auch ^ eine endliche Größe, eine Bemerkung, die d'Alembert Lagrauge schon in einemBriefe vom 16. Juni 1769 mitgetheilt hatte (siehe Xläm. da I'Xoad. äs Lsrlin 1763 p. 260—266).Da unter diesen Bedingungen L als sonst ganz unbestimmt betrachtet werden kann, so liegt dieLösung unseres Problemes in dem obigen eingeschlossen. Für den Fall, daß die Bedingnngsgleichungidentisch ist, giebt Lagrauge eine Lösung, welche mit der in seiner ersten Arbeit vom Jahre 1767übereinstimmt. Im zweiten der dabei hervortretenden Fälle zieht er einen anderen einfacheren und be-quemeren Weg vor, da der in der Lösung des obigen Problemes angedeutete Weg zn große Schwierig-