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=

v Jm+2

1.2.3 .... (2m-|-l)

C 1 b'oo^cJ o

x) dx.

( 8 )

Somit haben wir denn das Ausgangs vorangehender Nr. vorge-führte Ergänzungsglied R m von einem bestimmten Integrale abhängigdargestellt, das, wie die Gleichungen (6 und 8) zeigen, die eine oderdie andere Jakob Bernoullische Function B"(x) oder B'(xj implicirt.

Mit Hilfe dieser Gleichung (8) geht Gleichung (1) vorangehenderNr. über in •

^ a <?>(x)dx = v|yy(o) + g>(v)-|-g>(2v) + ...g>((n—l)v) +y y(a) j

+ S" (-»' * »-.(*)-»-(«) j rf£hr,

T = l

y 2m+2 /• 1

+ 1.2.3...(2m+l) J 0

B'(x)©i(x)dx

w T o nv = a, B r die rte Bernoullische Zahl und endlich © t (x) denDifferenzialquotienten von <7)(x) (Gl. 5) nach x bedeutet.

(• b

Stellt man in ähnlicher Weise das bestimmte Integral 1 (jP(x)dx

Jo

her, wo b—a reell und positiv ist; nimmt man b = n'v an undsubtrahirt von der so herzustellenden Gleichung die unmittelbar vor-her wirklich aufgestellte; so ergibt sich folgende allgemeinere Glei-chung :

^V(x)dx = V | J qf!(a)+9’(a+v)+gp(a+2v) + .. y(b—v)-(- j <p{ b) |

r= = m l ) g y 2 r

+ 2 — 'Ar-.(a) J 2 3 2r

r = l

„ 2 n >-|-2

^B'MF^xJd*

Jo

+ 1.2.3...(2m+l)

wo folgende Feststellungen getroffen worden sind :

b — a = (n'—n)v ,

Q — n'—1 p=n—1

F ( X ) = ^ + VX ) ~ ^ ^-h(( JV + VX ):

Q = 0 (J=0

welche letztere auch folgendermassen gestellt werden kann :

( 9 )