-K +, -f, , +, -K — ,.(—l) m - 2 , (—

(-1)”- 1 , (-1)“- 3 , (-l) m -‘. (16)

Vergleicht man die Zeichenabwechselungen der beiden Gruppen(13 und 16), bei irgend einer Verfügung über m, mit einander; soerkennt man sehr bald, dass ihre Anzahl in beiden Gruppen dieselbeist. Hieraus geht nun mit Zuziehung des Theorems (A) der „Analysedes equatiom determinees “ von Fourier hervor, dass die GleichungB'(x) = 0 keine reelle Wurzel innerhalb der Grenzen 0 und 1 hat;woraus nun weiter gefolgert werden darf: dass die BernoullischeFunction B'(x) für alle reellen Werthe innerhalb 0 und 1von x ein und dasselbe Vorzeichen, das von —l) m_1 , beibehält.

Weil ferner die Function B' (x), den Gleichungen (7 und 14)gemäss, bei x — 0 wie bei x = 1 Nullwerthe annimmt, aber inner-halb dieser Grenz werthe von x, wie eben gezeigt worden, Werthemit demselben Vorzeichen beständig annimmt, so muss sie mindestensfür einen dieser Zwischenwerthe einen Maximumzustand der Quantitätnach eingehen. Diesen zu finden, berücksichtige man den in voran-gehender Nr. angegebenen Differenzialquotienten von B'(x), nämlich:

B,'(x) = (2m-|-l)B" l (x)

(17)

so hat man sich nunmehr mit der Angabe der reellen Wurzeln derGleichung B"(x) = 0, die innerhalb 0 und 1 fallen, zu befassen.Untersucht man diese Gleichung nach derselben vorhin citirten Vor-schrift von Fourier, so gelangt man zur Ueberzeugung, dass nur einesolche Wurzel existirt; bedenkt man ferner, dass die oben citirteGleichung (5) meiner Schrift über die Bernoullische Function auchfolgende Relation darbietet:

B"(l—x) -f B"(x) = 0 ,

( 18 )

führt: so erkennen wir, dass die Function B'(x) innerhalb der Werthe0 und 1 von x nur einen Maximumzustand der Quantität nach eingeht,

und zwar trifft dieser bei der Annahme x

Betreffend endlich den Werth von B'

ziehe ich ein Ergeh

RAabe, Math. Mittheil. I.

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