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5. Die Euler’schen Funktionen E"(x) und E'(x) sind gleichwieanaloge Bernoull’sche, und zwar mit Hülfe dieser, durch trigono-metrische Funktionen von x darstellbar.

Unterlegt man zu diesem Zwecke die Gleichheiten (V und VI)vorangehender Nr., wie die in (1 und 2) in der bereits eitirten Ab-handlung aus dem 42. Bande des Crelle’schen Jonrnals, so erhält mansehr bald:

k=C\D

E "M = ^ir 1.2.3... 2m (2k— 1 ‘i)^+» sin ( 2k ~ 1 ) 27l;x ’ v XIV )

0/ 1 \m+l k——OO

E< (*)= 1.2.3...(2m+l)2 (2k~fp+2 C0S ( 2k — !) 2 ^ x

+ E'(i), (XV)

wo E' ^ j nach der zweiten, in (7) hier aufgestellten Gleichungen

durch die (m-|-l)te Bcrnoullische Zahl ersetzt werden kann.

Diese Ergebnisse bestehen jedoch nur für die innerhalb o und —

fallenden Werthe von x, die Grenze mitbegriffen*), wobei m jedesganzen positiven Werthes fähig ist.

Man findet mit Hülfe dieser Ergebnisse

(2' Jm + 2 — 1) B,

die theils mit Ergebnissen vorangehender Nr. völlig übereinstimmen,theils aber auch aus denselben gefolgert werden können.

*) Die unterlegten, oben eitirten Gleichheiten aus dem Crelle’schen Journalbestehen nur für Werthe von x=o bis x=l; wenn in denselben nun x auch

durch x -f- -i- ersetzt wird und sie hierauf mit jenen unmittelbaren Ergebnissen com-

binirt werden, so bestehen die so erzielten Ergebnisse, wie es die in (XIV und XV)

sind, lediglich von x = o bis x = ~, w ie oben festgestellt worden ist.