«

— 151 —

»(“■ b ?'+ bFTT,) - V (“ - ^ - b P 4^i) ”* “ (bp+ci)*

+ ( Tp^)?‘(“- b >'+bFy •

y, ( « _ by + b -J—) _ ,p, ( cx _ by - j-1-) = j-3—,

welche die allgemeinsten Integralgleichungen der linearen Differenzial-gleichung in (17) sind.

Diese Gleichungen hat man noch mit den in (16) durch Elimi-nation von p und q, oder auch von bp-|-cq und q, zu verbinden.

1

Ersetzt man nun zu diesem Zwecke bp-J-cq durch — , und q durch

vj so hat man aus folgenden drei Gleichungen

<jp (ex—by-j-u) — ifJ (cx—by—u) = x — vu 2 -f- 2u^i (ex—by-j-u),

qpi(cx—by-j-u) — tpi(cx —by—u) = vu,

2<fi(cx—by-j-u) = vu — bz,

die beiden Grössen u und v zu eliminiren. Eliminirt man in der Thatletztere, so verbleiben noch folgende zwei Gleichungen:

buz — x -j- cp (cx-by-j-u) = -j- (cx—by—u), j

bz -j-(jPi(cx—by-j-u) = — ipi( cx—by—u), jwelche nach Elimination von u die allgemeinste endliche Integralglei-chung der partiellen Differenzialgleichung zweiter Ordnung:

s 2 — rt = (bp-j-cq) 4 (d')

darbieten.

Wird zur Veritieation dieses Ergebnisses c = o, u = A gesetzt, unddie willkürliche Funktion 1 p{ — (.i) durch —ersetzt, so gelangtman genau auf den in b) behandelten Fall.

Bedenkt man ferner, dass die Gleichung (d') unverändert bleibt,wenn man x mit y und zugleich b mit c vertauscht, so folgt, dassman dieselben Vertauschungen auch mit den Gleichungen (d) vor-nehmen darf; wodurch auch folgende zwei Gleichungencuz — y -j- (p (by—cx-j-u) = t//(by— cx—u),

cz -|- cfi (by—cx-j-u) = — ipi (by—cx—u) ,nach Elimination von u aus denselben die verlangte allgemeine Inte-gralgleichung darbieten werden.

d) Es verbleibt uns noch die letzte Annahme, wenn keine derdrei Constanten a, b, c den Nullwerth annimmt, womit wir unsnunmehr noch beschäftigen werden.