8o

drato H F, 3? quale esse rectangulo comprehensolüb AB.A C,bis lumpto ( hoc est, duobus rectan-gulis A F, H D ) una cum quadra- 141

toCI reliqui segmenti CB. Nam jduo rectangula A F, H D. sunt x •qualia gnomoni C H E F I, &quadrato H F, ut patet; ergo ad-dito quadrato C I, erunt duo re- *

ctangula A F, H D,& quadratum -CI, squaliagnonioni praedicto,

& duobus quadratis H F, CI: Sed gnomon & qua-dratum Cl, faciunt quadratum A D; ergo quadrataA D, H F, sunt aqualia duobus rectangulis A F, HD, & quadrato Cl.

Dividaturnumertu 10,m 6 & 4, Srit100quadra-tm numerus totius , er 36, quadrattu numertu fartis£, aqualis numero 6 obis sumpto, qmfit ex toto to.inpartem 6, und cum t6 quadratommero alterius par-tis 4-

Propositio VIII. Theorema.

St reBa linea Jecetur utcunque; reclan-gulum quater comprehensumsub tota , er unosegmentorum , cum quadrato quod d reliquosegmento fit , otquale ett quadrato quod ex to-ta, es ditto segmento, tanquam ab unalinea describitur.

S strecta A B divifain Cutcunque > ciqueadijcia-tur B D aqualis ipsi C B v.g. ( potest eidem adij-ci aqualis ipsi A C;) & super totam A D fiat qua-dratum A E , quoddividaturinminora rectangula modo si-mili praccdentibus , prout fi-gura monstrat. Dico.quadra-tum totius A D, aquale estequatuor rectangulis compre- Mhenlissub A B,& B C,Ieu B D,

&quadrato reliqui segmenti AC. Nam A E est quadratumtotius AD; OI, NC^, B M sunt quadrata,/w ro-ro//, 4. hujus-, & OI quidem cstquadratum legmcn-tiAC; quoniam O K aqualis est A C; rcliquaduosunt quadrata (egmenti C B, aut B D; qualia etiamlunt quadrata CH,&H P. Unde constat, A H el-fe rcctangulumcomprchcnlum sub A B , B C, quiaB H est aqualis ß c. Alterum rectangulum huicaquale, estL Q^, quia continetursubL fl, HQ^qussuntxqualcsiplis A B, B C, ut patet. Tertiumrectangulum his aquale, est H E, contentum subH G, H M, qua etiam sunt aquales eisdem A B, BC, quoniam H Q_est aqualis B C, & Q G est x-qualis C A, & tota HGtotiAB, &HMxqualisest ipsi b d , hoc est, b c. Quartum denique re-ctangulum prioribus squale,constituunt K G, b msimul. quia K G est aquale Q E,per ;6.pri. & qua-dratum b m est aquale quadrato H P. Ciim igiturhac quatuor rectangula constituant gnomonemIE D A O, qui aim quadrato OI facit totum qua-dratum A E; manifestum est, totum quadratum AE, aquale elfe quatuor rectangulis A B, ß c, & qua-drato segmenti A C. ,

Seceturnumerus totn 6 & 4. Tgumerus 240, quifit ex toto /0 in partem 6 quater du'äo, una cum 16 qua~drato numero ait er itu partis 4 , hoc eB , numerus 256,aqualis ett numero quadrato numen 16 , qui componi-tur ex dato numero 10, cr diBaparte 6 ♦

Liber 111. Geometria Element ♦

Propositio IX. Theorema.

St reBa linea fecetur in aqualia, non

ecqualia ; quadrata qua ab tnaqualibustotius figmenti fiunt , duplicia Junt & ejusquod d dimidia, & ejus quod ab inter-media fittionumfit, qua-drati,

R Ecta A B sccctur bifariam in C, & non bifa-riam in D. Dico,quadrata segmentorum inae-qualium a D j d b , dupla este quadratorum qua fi-unt ex dimidia A C > & ex intermedia lectionum CD. Fiat enim CE perpendicularis ad a b,& squa-lis C A, vel t! B, ducanturque rectx a e, f. b. De-inde ex D ducatur quoque ad a bperpendicularis D F, secans f. b inF, & ab F ducatur F G parallela i-pli a b ; si atque recta F A. Eruntitaque triangula ace.ecb, iso- gsccliarectangula,quoniam c a, cE,ut&c b, c e , squales sunt ex constructione, &anguli ad C recti; ergo ,per 2.Coro/1,32, pn. quatuoranguli ad bases a f. , b e , semirecti sunt, & conse-quenter totus angulus a e b rectus. Rursus trian-gula f D B, f c e, rectangula sunt, quoniam f jj estperpendicularis ad a b , & f g perpendicularis ad ec; & quia anguli d b f, ce f, suntiemircctijiito-stenlum f uit; erunt, per32.pn & reliqui d f b,g F e,semirecti; & per d.pri. d f erit squalis d b , & e gaqualis oi .vel c d, quoniam c F cstparatlelogram-mum ex constructione facta. Ostendo nunc,qua-drata a D,&d B,scu d Fjcsteduplicia quadratorumA c, & c d. Nam, per 47.pn. quadratum recta? aE, est squale quadratis c a , c E, & consequenterduplum quadrati A C; & quadratum e f, est squa-le quadratis f g, g E, Lc consequenter duplum qua-drati o F, seu c d; ergo duo quadrata ae, e f, du-pla sunt duorum quadratorum a c, c d: & quiaquadratum a f squale est quadraris a e, f. F;idco& quadratum a f duplum est quadratorum a c, cD:scd quadrato a Fxqualia sunt quadrata A i),» F,seu D b ; ergo & quadrata a d , d b sunt dupla qua-dratorum AC,cn; quod demonstrandum erat.

' Dividatur numertu 10. squaltterm s & f > & tn ~aquahter in 7 & 3, ut intermedia j'dlio fit 2. Quadra-ti numeri 49 dr 9, partium in aqualium 7 &3> duplifiunt quadratorum 27 & 4,Jeu dtmidij numeri m-termedtj 2,

Propositio X. Theorema.

Si linea reBa ficetur Insanam, adijda-tur que et m reBum quapiam reBa linea;quadrata qua fiunt d tota cum adjuntta, & abadjuntta tantum, duplicia fitnt quadrati quodd dimidia , ef quadrati quod d compositaex dimidia & adjuntta fit.

S Ecetur rectti a b bifariam in c, & ei in rectumaddatur b d. Dico,duo quadrata rectarum a d,& b d , dupla este quadrato- ^4

rum ex a c, c d descripto- p ^

rum. Erigatur enim ex c re-cta c e .perpendicularis ad ad, & squalis ipsi a c,vclc b, n& jungantur rectx a e, e b.

Deinde per d educaturo f,

ipsi