1

Euclidis Element, ll.

8t

ipsi C E parallela,occurrens rects IIB protracts inG, & per E ducatur rects C D parallela E F,secansDFin F; jungaturque tandem recta A G. Erit an-gulus AEG rcctus,ut in pratetdenteostensam fuit,tc C E B semirectus,ideoque & ejus alternus E G Fsemirectus ,per ip.pn. Et quia angulus k rectus estcx constructione; erit & angulus G E F semirectus jper32. pn. acproptcrca, per 6.pri. rectjeEF, F G«quales. Eadem ratione ostenditur, rectas D B,D G, este aquales, quoniam angulus D rectus fcst,& angulus I) G h semirectus, ut ostensum fuit, i-dcoque & D B G semirectus est, ac proptcrca, perO.prt. latera D ß, Ü G, aqualia. Jam sic; Quadra-tum A E, per 47.prt. est duplum quadrati A C,&quadratum E G duplum quadrati E F, hoc est,qua-drati C D (est enim C F parallelogrammum cx con-structione facta ) Ergo duo quadrata A E, E G,dupla sunt quadratorum A C, C D. Sed duobusquadratis A E, E G, aquale est quadratum A G ; &huic aqualia sunt quadrata A D,D G,hocest,As>,O B; ergo & hac duo quadrata A D, D B, duplasunt duorum quadratorum AC, C Djquodosten-dendendumerat.

'Tfiumcrits 10. bifariamsecemrin f & 5 • eiq } adij-aaim numerus v.g. 3 , m tot ha compofittts fit 13 , com-pofiius vero ex dimidio er adjmiitofit S. Quadratinumeri, 169 , er p, horum numerorum 13 &3, duplijmit numerorum quadratorum 23, cr 64, qui ex hisnumeris , /, & i.gtgnunttur.

Propositio XL Problema.

'Datam reUam lineam ita secare, ut re-Slangulum sub tota is alterofigmento-rum comprehensum, aquale fit quadratoquod k reliquo segmentofit,

lineam re. T"X Ata sit recta A B, quam oporteat dicta ratio-

D l

ne secare. Super A B siat quadratum AC; &diviso latere A D bifariam in E, ducaturrecta E B;s-re •**" cui cx EA protracta sumatur® qua 145

lisE F, & ipsi A F fiat «qualis A G. f-Dico, rectam A B sectam eile in Gita. ut rectangttlum comprehensumsub A G, & B G,«quale sit quadra- ßLto rectar A G. Ducatur enim perG, recta FI 1 parallela rect e 1 ) F;&per F ducatur F H parallela ipsi AG. Ent rectangulum A H quadratum, cum omniaejus latera sint, per 34-pn. a qualia: & rectangulumCG erit comprchcuium sub A B, & segmento BG, quia A B est Aqualis ipsi C B. Probo nunc, rc-ctanguIui/I CG, & quadratum AI I, esse «qualia.Recta D A divisa est bifariam in E, &ci addita inrectum A F; ergo, per 6. hujus, rectangulum sub DF. F A, hoc est, rectangulum D H > una cum qua-drato dimidia: A E, a:qualccst quadrato rect« E F,hoc est. quadratö rect* E B, qua: recta E F aqualisest: Sed quadratum recta EB, est aquale, per 47,pn. quadratis rectarum A E, AB; ergo demptocommuni quadrato recta: A E, remanet rectangu-lum D FI aquale quadrato rectae A B, hoc est,qua-drato A C ; ergo ablato rursus communi rectangu-lo AI,remanet rectangulum G C squale quadra-to AFI.

tioc theorema non potefi applicari numeris, quiadivtdi miliiM numerus potefltn duos, utnumertupro-

I

H

a

dufbss e.t toto in alteram partem, aqualis/it quadratoalterius pdrtis, ut demonstrat Clavim adfiropostt, 14.libri p. Sitclidü , <*f ad Propostt, 27. ejusdem libri.

Propositio XII. Theorema.

In amblygomjs triangulis, quadratumquod fit d latere angulum obtusum sub-tendente,majus est quadratis qua fiunt k late-ribus obtusum angulum comprehendentibus ,re fi angulo bis comprehenso & ab uno laterumqua sunt circa obtufim angulum, in quodeismprotrafiumfuerit, cadit perpendicularis ,ab assumpta exterius lineasub perpendi-culari prope angulum obtusum »

I N triangulo ABC, sit angulus B obtusus, ita utperpendicularis A D, per 2. Corotl. 17. prii cadatextra triangulum in latus C B protractum. Dico,quadratum lateris A C, excedere quadrata laterumAB, B C , gemino rectangulo 146sub C B, B D comprehenso; hoc.est,quadratum lateris A C arqua-le este duobus quadratis laterumA B, B C, una cum rectangulosub C B, B D, bis comprehenso.

Ciim enim C D divisi iit in B ut-cunque; erit, per 4. hujus, quadratum rectar CDs-quale quadratis rectarum Cß, B D,& gemino re-ctangulo sub C B, B D comprehenso: addito igiturcommuni quadrato rectae A D, erunt duo quadrataCD, D A, aequalia tribus quadratis C B,BD, DA,& rectangulo comprehenso bis sub C B, B D; &consequenter quadratum AC, quod per 47, pri. ae-quale est duobus quadratis CD, DA, erit aequaleijsdcm tribus quadratis C B, B D, D A, & geminorectangulo C B, B D; cüm tamen quadrata recta-rum C B, B A, sint solum «qualia tribus quadratisCii, B D, D ,-i, ( quoniam quadratum 2 ?^«qualcest duobus H D, D si, per 4?.pri.)

Propositio XIII. Theorema,

In oxjigonijs triangulis , quadratum dlatere angulum acutumsubtendente mi-nus efl quadratis qua fiunt k lateribus acutumangulum comprehendentibus, reBangulo biscomprehenso (fi ab uno laterum quafimt circaacutum angulum , in quodperpendicularis ca-dit , & ab assumpta interius linea fitbperpendiculari prope acutumangulum ♦

I N triangulo - 4 /?Csintomticsanguliacuti* & aiA demissa perpendicularis A D cadat in latus BC, per 2. Coro/l. 17. pn. Dico, quadratum lateris

AB, quod acuto angulo C opponi-tur, minus esse quadratis laterüm AC,CB, circa dictum angulum a-cutum C, rectangulo bis compre-henso sub H C, CD; hoc est, qua-dratum lateris > 4 F,una cum rectan-gulo bis comprehenso sub TC,CD,

«quale esse duobus quadratis laterum AC, CTS.Nam quia recta B C divisa est in ‘£> utcunque;crunt,

per 7.