IOO

Nam covertcndo erit quoq; ut B ad E,ita D ad F,&sicA,B,E,&totideC,D,F,erunt ordinate propor-tionales. Quare ut A ad E,ita erit,per22.hwns C ad F ;8c,per/S.hujw,componendo ut A E ad E,ita C F

A. E.

C. F.

B.

D.

ad F: & sic erunt iterum tres, A E» E, & B, &trcsCF,F,& D,ordinate propoationales, itcruimjucpcr22,hujni, ut A E ad B,ita erit C FadD.

Propositio XXV. Theorema.

Si quatitor magnitudines proportionalesfuerintmaxima & minima reli-quis duabus majoreserunt ,

Liber III. Geometria Element .'

Propositio X XVIII.Theorema.

Si prima ad ßcundam habuerit majo-rem proportionem,quam tertia ad quar-tam-, habebit quoque composita prima cum fe-cunda,adfecundam majorem proportio -nem, quatu composta tertia cumquarta,ad quartam.

R Atio A ad B major lit, quäm C ad D. Dico,componendo A B ad B majorem cstc.C D adD.Nam ut C ad D,ita sit E ad B;eritque iterum A maior quam E,

& A B maior quamE E-,&cper S.

A. B.

C. D l

E.

1

hujw , ratio AB ad B,majorrationc£ 2 ?adÄ, hocest, ratione C DadD, quia componendo ut 4 #ad/si ita est C D ad/>.

Fig.XIV.Icon.A.

Propositio XXIX . Theorema.

S it A B ad C D, ut E ad F,sitquc A B maxima,Fminima. Dico, A B & F simul > este majores,quam C D & E simul. Auferantur enim A G,C H,squales ipsis E, F: erit A G ad C H,ut E ad F, hocest, ut A B ad C D. Quare cum sit tota A B ad to- Si composta prima cum scunda ad fe-

tam C D, ut ablata AG aci ablatam C Hjent quoq;, cttn st am habuerit majorem proportio -per ip.hufM, reliqua G Bnd reliquam HD, uttota N J f s

AB ad totam G D : Sed AB ponitur major quam nem, ejuam composita tertia cum quarta adC tycvsp.p<r 14. bujw,G B erit major quam H D. quartam', habebit quoq^dividendo prima ad"Jam sic. A G,& E,sunt arquales; ergo (i ipsis addan-

tur squales F & C H, sient A G Lc F simul squalesipsis E & C H hmvlper 2.^’txio.pri, & additis ins-qualibusG B & H D,sient AB Le F simul majores,quam E&CDsimul, per 4, Axio.pn.

Sequuntur Propositiones ab aliisaddit st.

Propositio XX VI.Theorema.

5 /prima adscundam habuerit majoremproportionem, quam tertia ad quartam ,*habebit convertendo secunda ad primamminorem proportione,quam quar-ta ad tertiam.

R Atio A ad B sit major ratione C ad D. Dico,convertendo B ad A minorem habere pro-portionem,quam DadC.Namut C ad D,ita (it E ad B: eritqueratio A ad B major ratione E ad

scundam majorem proportionem , quam tertia adquartam, m

Atio a b ad b sit maior ratione c d ad d. Di-co,dividendo a ad B maiorem este,quam c ad

D.Nam ut c d ad d, ita sit e b ad f. :-——.

eritque a B maior quam E B; &| ^ ^

BJ

A. B.

C.D.

E.

dempta communi b, erit a maior | _

quam e ; Slper S.htijw, ratio a ad b , maipr rationeE ad »,boc elf. o ad D,quia dividendo ut cado,itaest e adß.

Propositio XXX. Theorema.

Si composta prima cum ficunda ad ß-cundam habuerit majorem proportio-nem , quam composta tertia cum quarta adquartam ; habebit per conversonem rationis ,prima cum scunda ad primam , majoremproportionem,quam tertia cum quar-ta, ad tertiam.

R Atio a b ad b sit maior ratione C D ad D. Di-co,per conversionem rationis, a Bad a mino-rem este, quam c d ad d Nam divi-dendo,per 2p.hujui, erit quoque aad B maior, quam c ad d ; & con-

AB. CD.

Bjideoqu e , per 10. hujus , A maipr erit q u am E;&,per S.hujus , ratio B ad A minor erit quam B ad E,noc est,quam C adD.

Propositio XXVII. Theorema.

Sl prima ad secundam habuerit majorem vertendo, per 26,hujw, B ad a minor, quäm u ad* J s 1 „ & componendo , ptr 2$.bftjw, A B ad A minor,

proportionem,quam tertia ad quartam ^mcDadc. r '

habebit quoque vicijsm prima ad tertiam propositio XXXI. Theorema.

majoremproportionem,quamJe- »

eunda ad quartam. St sint tres magnitudines, L§ alu tpßs

R Atio A ad b sit,ut antea, major ratione C ad aquales numero,fitque major proportioD. Dico, permutando A ad C rationem ma- prima prior um adfecundam,quam primapo-

seriorum adsecundam ; itemfecunda priorumad tertiam major, quam secunda posteriorumad tertiam: Erit quoque exaqualitate majorproportioprimapnorum ad tertiam,quamprimaposteriorum ad tertiam.

Ratio

A.B.

C.D.

E.

jorem habere,quam B ad D.Sit cstimiterum ut C ad D,ita E ad B: eritque,ut inprscedcntc, A maior quäm E:quare major erit ratio A ad C.quäm E ad C: Sed utE ad C, ita est permutando B ad D (cum posita litE ad B,m C ad D;) ergo major est proportio A adC, quäm B adD.

/