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— Die Euler’sehe Formel und die Lambert’sche Reihe. —

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zu setzen, wo a und ß zwei unbestimmte Faktoren sind. Sollen nun 33 und 30übereinstimmen, so muss

p 2 • q 2 • (1 + t 2 ) • d t _ , I" K • t ~| , ß ■ dt

fp + (2 q — p) • t 4 ] 4 “ “ Lp + (2 q — P) • t 2 J " r p : ,2 q — p. • t !

sein, und hieraus ergiebt sich, wenn man die angedeutete Differentiationftusfiihi't)

p 2 • q 2 + p 2 • q 2 • t 2 = (ß + «) • p + (ß — «) • (2 q - p) • t 2Diese Bedingungsgleichung kann aber nur für jeden Wert bestehen, wenn

oder

p 2 • q 2 = (ß + «). p

“ = P-q 2 -(q — P):(2q-ist, für welche Werte 33 in

4_ p • q 2 • (q — p) • t

• p) • [p + (2 q - pj • t 2 ]

■p)

• ü 2 = iß. — «) • (2 q — p)

/S = p-q 3 : (2q — p)

p -q 3 _2 q — p

f-,

d t

(2q —p)-[p + (2q-p)-t 2 ] 1 2q — p J p + (2q — p) ■ t 4

übergeht. Hieraus folgt aber im ersten Falle (Ellipse) nach 46:3, wennTg % W = Tg Va V • V(2 q — p) :~p odergesetzt wird, r _ _ n

L w - „ ■ Slw ]

34

35

j/p7(2q-p) 3 «

37

A _.‘iM p

3 2 (2 q p) %

und im zweiten Falle (Hyperbel) nach 46:2, wenn

Tg </, w = Tg y 2 y • l/(p — 2 q): p oder t = Tg >; 2 w • j/p:'Qp — 2 q) 3 Hgesetzt wird,

. ü

2(p

3 • T/p

-2q)'

Tg w — Ltg ^45° + ~

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p — q

P V 2 ■

womit nun unsere Aufgabe in allen Fällen vollständig gelöst ist. — In Be-ziehung auf Lambert endlich will ich noch beifügen, dass er in seinen „Obser-vations sur l’o.rbite apparente des Cometes (Mem. Berl. 1771, ausg. 1773)“einen sehr interessanten und praktisch wertvollen Satz ungefähr in folgender

Weise ableitete: Sind C, C‘, C" undT, T', T" die den Zeiten t, t', t" ent-sprechenden Lagen eines Kometen undder Erde, ferner S die Sonne, so hatman (484:12) sehr angenähertqC' = y a f 2 - (t' — t) •(!'' — t‘):

QT' = Va f* • (t' - t) ■ (t" - t') :also

qC' : QT' = R‘ 2 :r' 2

Ist demnach r' = R', so ist auchqC‘ = QT' und es fällt somit, wennT'D || Qq ist, T'C' mit dieser T'Dzusammen, während sie für r' 5z R' und also qC' 4 QT‘ einem scliein-

bareu Abstande von der Sonne entspricht. Da nun nach Konstruktion Dnotwendig dem grössten Kreise angehört, welcher C“ und C auf der schein-baren Himmelskugel verbindet, so liegt daher das scheinbare Bahnstückvon diesem grössten Kreise gegen die Sonne zu oder von ihr ab, je nach-dem r‘ > R' oder r' < R' ist. Hierin besteht aber der von Lambert auf

: r' 2: R' 2

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