zweiten Theil des Lehrsatzes zu erweisen, nämlich dass fiir jeden von D ver-schiedenen Punct II

AH + BII-f-CH > AD+BD + CDsei, ziehen wir von II auf AF, BG und CE die Senkrechten Hd, Hg undHa, und dann noch (durch e und D) f c || B g und D b [| II g. Aus diesenConstruetionen folgt einerseits, dass Dreieck Dce gleichseitig, oder Dd = dc= cb = be, — anderseits dass aollesefll, oder ea = of. Es ist somitDa = fc — Dg-j-Dd, oder

Ad + Bg + Ca = AD + BD + CDworaus sofort (85 oder 88) die Richtigkeit der obigen Behauptung folgt.

XI. Das rechtwinklige Dreieck und die goniometrischen

Functionen.

9t. Das rechtwinklige Dreieck. Ist in einem Dreiecke einWinkel ein Rechter, so sind die beiden andern Winkel (83) comple-mentär. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende und (85) grössteSeite heisst Hypotenuse, jede der andern Seiten Kathete. Dasich bei zwei rechtwinkligen Dreiecken die Gleichheit der beidenrechten Winkel von selbst versteht, so wird (83) ihre Congruenzdurch eine Seite und einen zu ihr gleichliegenden Winkel, oderdurch die beiden Katheten, — ihre Aehnlichkeit durch einen Winkel,oder das Verhältniss der Katheten bestimmt. Zwei solche Dreieckesind aber (86) auch congrucnt, wenn sie die Hypotenuse und eineKathete gleich haben; folglich bestimmt auch das Verhältniss vonHypotenuse und Kathete die Form des rechtwinkligen Dreiecks. —Die Mitte der Hypotenuse steht (76, 89, 84) von allen Ecken gleichweit ab.

Legt man zwei rechtwinklige Dreiecke, welche die Hypotenuse und eineKathete gleich haben, mit der Letztem entsprechend an einander, so entstehtein gleichschenkliges Dreieck, das jene Kathete zur Höhe hat, also durch siein zwei congruento Dreiecke zerfällt. — Ist Dreiecka b c in c rechtwinklig, und a d — d b, so ist auch/ \ d c = d b ; denn zieht man d e || a c, so wird einerseits

/ \ / (nach 89) cb durch de gehälftet, und anderseits steht

£ -(nach 76) de cb, — also ist (nach 84) dc = db,

wie zu beweisen war.

9®. Dimensionen und Fläche. Theilt man die eine Kathete ingleiche Theile, und verbindet die Theilpuncte mit der Spitze, soerhält man (90) ebcnsovicle gleiche Dreiecke, und es verhalten siclidaher zwei rechtwinklige Dreiecke, welche eine Kathete gleich haben,wie die andern Katheten. Bezeichnen somit AB, ab und Ab die