Principia Mathematica. 75
quavis astignatä , ideoque ut ratio A B quad. ad Ab quad .niiniis differat a ratione B D ad b d , quam pro differentia qua-vis assignata. Est ergo, per lemma 1 , ratio ultima A B quad.ad Ab quad. eadem cum ratione ultima B D ad b d. ss E. D.
Cas. 2. ( b ) Inclinetur jam B D ad A D in angulo quovis
dato, & eadem semper erit ratio ultima B D ad b d, qua:prius, ideoque eadem ac A B quad. ad. A b quad. E. D.
Cas. 3. ( c ) Et quamvis angulus D non detur, sed recta
B D ad datum punctum convergat, vel alia quacunque legeconstituatur ; tamen anguli D d communi lege constituti adaequalitatem semper vergent & propius accedent ad invicemquam pro differentia quavis astignatä , ideoque ultimo aequaleserunt, per lern. 1 , tk. propterea linea: B D y bd sunt in ea-dem ratione ad invicem ac prius. A E. D. Co-
in A, & quoniam accedente puncto B,ad A , accedit punctum G , ad J , atqueevanescente arcu AB, evanescit quoque 'distantia G J , manifestum est quod dis-tantia G J minor esse potest quam assig-nata qusvis; quia vero anguli A b g,
A B G, recti sunt (per hyp. ) circuli duodiametris A g, A G , descripti per punc-ta b , B , transeunt, adedque horum cir-culorum chorda; Ab, AB, sunt media:proportionales inter suas respective abscis-sas A c , A C, seu squales d b, D B, &diametros A g, A G, ac proinde A B 1= AGxBD&Ab 2 ;rAg x bd &c.
( b ) 114. Inclinentur jam B D , b d,
ad AD, in angulo quovis dato BDF,bdf, eadem semper erit ratio ultimaB D , ad , b d , qus prius. Ductis enimB F, b f, ad A C , parallelis, erit obtriangula squiangula BFD, bfd, BD:b d = B F : b f ; sed (rrz) BF: bf =A B * : A b 2 ; est igitur B D : b d =A B 2 : A b 2 .
( c ) nf. Et quamvis angulus D, nondetur, sed recta:, D B, d b, ad datuippunctum H , convergant, vel alia quacum-que communi lege constituantur, tamenanguli D d, communi lege constituti (punc-tis b & B ad A & ad se mutuö accedenti-bus ) ad squalitatem semper vergent, &evanescente arcu B b , adedque coinciden-Cbus lineis H D, H d, propius accedent
ad invicem quam pro differentia quavisassignata ac proinde ultimd squales erunt( per Lern. I ) , & propterea lines B D,b d, sunt ultimö parallels & in eadem 'ratione ad invicem ac prius (124).
K 1 116 .