Principia Mathematica. 57

ubi de lateribus A &: B deerant momentorum dimidia \ a &

\b i fuit A-^tfin B — \b, scu AB-^B-lM + j^i & quam Sectio ii.primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, Li M - ILevadit A ■ 3 r\ a in B + \ b fcu AH + \ a Ü + \ b A-\- \ a b.

De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & ( h ) ma-nebit excefl’us a B -f- b A. Igitur laterum incrementis totis a &b generatur rectanguli incrementum ctB + ^A. Q. E. D.

CaJ, z. Ponatur A B scmper aequale G , & contentiABC seu G C momentum (per caf. 1.) erit g C + c G , idest (si pro G & g scribantur AB & «B + ^ A)«BC+^AC

+ c

o

e a f

(h) * Et manebit excejsut aB-f-tA.

i u *. Casus. Sit Rectangulum O A B Csub duabus variabilibus O A , O B conti-nue crescentibus',- sumantur hinc inde abA partes «quales A e, As, & a B partes«quales Bg, Bh, ita ut, si a & b sint quan-titates momentis linearum OA, OB pro-portionales sit efr a, & g h —b: Com-pleantur Rectangula O g E e , O h F f, du-cator FE, qua; transibit per C punctumconcursus linearum AC, BC (ob parallelas,& lineas e f & g h similiter, nempe bifariam,sectas in A & B). Dico quod summa Tra-peziorum E Fe f & E F g h «qualis erit mo-mento Rectanguli O A C B ; obtinetur ve-rö Trapeziorum summa, sumendo differen-tiam Rectangulorum OeEG, OfF H, qu«

est O f X O h — O e X O g, si ve OA+ A f XOJi+ Bh—OA — AeXOB — Bg, & vo-cando OA, A\ OB, S; Af=Ae = ~a, Bh

= B g = f b differentia Rect. eritA -f- ~ a X B -}- ■£ b — A — \ a X

8-\b=Ah + \aB + %b A + ± ab-lotn. I L

A B+ i a B 4-16 A - i a b = a B + b A.

Ut verA probetur summam Trapezi: rimiEFef &EFgh «qualem ese „

momento Rectanguli OACB, ^ ^observandum primo. Quod si ^line« qu«vis ST, V X, utcum-que in*quales, in lineam SVhnt perpendiculares jungatur-que T X, & in medio line« SVerigatur perpendicularis Y Z,

erit Trapezium STXV «quale* * vRectangulo SVxYZ: Itaque TrapeziumEFef eiit «quale Rectangulo A C X e f,& Trapezium EFgh «quale RectanguloBCxgh. Pr«terea quoniam ef & ghsunt momentis linearum O A , OB pro-portionales, hoc est, proportionales ve-locitatibus quibus line« OA, OE cres-cunt, sive, quod idem est, celeritatibus qui-bus , dum Rectangulum OACB crescit,line« AC, BC antrorsum feruntur, Rectan-gula ACxef & LCxgh- erunt ut line« illaeAC, BC & earum velocitates conjunctim.

Mutatio autem geniti Rectanguli OACBproportionalis est causx qu« eam producit,ea autem causa est motus linearum variabi-lium AC, BC quo antrorsum seruntur dumline« O A , O B crescunt, & quamvis dumillae line« AC, FC moventur, interim li-

ne« OA, OB crescant, incrementi hujusnulla habenda est ratio dum Rectanguli flu-xionem sive incrementum nascens conside-ramus , etenim in ipso hujus incrementinascenti, ortu illae productiones linearumOA, OB nihil plane sunt, & cum primumsunt aliquid jam ali« AC, BC prioribus ma-jores affumuntur, ergo momentum Rectan-guli OACB sive ejuv mutationis momenta-H ne*

90.